Источники и классификация погрешностей

1. Гусак Ф.Ф. Высшая математика. В 2-ч т. Учебное пособие.-М.: 1998.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях.-М.: Высшая школа, 1986.

3. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Высшая школа, 1983.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть.-М.: Айрис пресс, 2003.

5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. –М.: Наука, 1970.

6. Щипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. –М.: Высшая школа, 1998.

 

Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи

 

Источники и классификация погрешностей

 

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:

1) математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;

2) применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

3) при вводе данных в машину, при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления.

Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:

1) неустранимой погрешностью,

2) погрешностью метода,

3) вычислительной погрешностью.

Часто неустранимую погрешность подразделяют на две части:

а) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность, являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

б) погрешность, являющуюся следствием несоответствия математического описания задачи реальности, называют, соответственно, погрешностью математической модели

Дадим иллюстрацию этих определений. Пусть у нас имеется маятник (рис. 1.1.), начинающий движение в момент t = t₀. Требуется предсказать угол отклонения φ от вертикали в момент t₁.

 

 

Рис. 1.1. - Маятник

 

Дифференциальное уравнение, описывающее колебание этого маятника, берется в виде:

, (1.1)

 

где l — длина маятника, g — ускорение силы тяжести, φ — коэффициент трения.

Как только принимается такое описание задачи, решение уже приобретает неустранимую погрешность, в частности, потому, что реальное трение зависит от скорости не совсем линейно; другой источник неустранимой погрешности состоит в погрешностях определения l, g, µ, t₀, φ (t₀), φ ΄ (t₀). Название этой погрешности — «неустранимая» — соответствует ее существу, она неконтролируема в процессе численного решения задачи и может уменьшиться только за счет более точного описания физической задачи и более точного определения параметров. Дифференциальное уравнение (1.1) не решается в явном виде; для его решения требуется применить какой-либо численный метод. Вследствие этой причины и возникает погрешность метода.

Вычислительная погрешность может возникнуть, например, из-за конечности количества разрядов чисел, участвующих в вычислениях. Введем формальные определения.

Пусть I — точное значение отыскиваемого параметра (в данном случае — реальный угол отклонения маятника φ в момент времени t₁), II — значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию (в данном случае — значение φ (t₁) решения уравнения (1.1)),

II_h-— решение задачи, получаемое при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений, II_h^*—приближение к решению задачи, получаемое при реальных вычислениях. Тогда

Ρ ₁ = II—I — неустранимая погрешность,

Ρ ₂ = II_h —I — погрешность метода,

Ρ ₃ = II_h^*—II_h — вычислительная погрешность.

Полная погрешность Ρ ₀ получается по формуле

Ρ ₀= Ρ ₁+ Ρ ₂+ Ρ ₃