Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Квадратурная формула Гаусса




Полиномы вида называются полиномами Лежандра.

Свойства этих полиномов:

1. , ;

2. , где - любой полином степени k, меньшей n;

3. полином Лежандра имеет n различных и действительных корней, которые расположены на интервале .

Первые пять полиномов Лежандра:

Рассмотрим функцию , заданную на стандартном промежутке . Нужно подобрать точки и коэффициенты , чтобы квадратурная формула

 

(8.14)

 

была точной для всех полиномов возможной наивысшей степени N. Так как в нашем распоряжении имеются 2n постоянных и , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами, то эта наивысшая степень полинома в общем случае равна N=2n-1.

Для обеспечения равенства (8.14) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при . Действительно, полагая и , будем иметь .

Таким образом, учитывая соотношения , заключаем, что для решения поставленной задачи достаточно определить постоянные и из системы 2n уравнений:

(8.15)

Система (8.15) нелинейная, и ее решение обычным путем представляет большие трудности.

Рассмотрим полиномы , где - полином Лежандра. Т.к. степени этих полиномов не превышают 2n-1, то на основании системы (8.15) для них должны быть справедлива формула (8.14) и .

С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра выполнены неравенства:

при ,

поэтому

(8.16).

Равенства (8.16) будут обеспечены при любых значениях , если положить , т.е. для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (8.14) в качестве точек достаточно взять нули соответствующего полинома Лежандра. Как известно, из свойства 3, эти нули действительны, различны и расположены на интервале . Зная абсциссы , легко можно найти из линейной системы первых n уравнений системы (8.15) коэффициенты Аi (i = 1, 2, …, n). Определитель этой подсистемы есть определитель Вандермонда

 

и, следовательно, определяются однозначно.

Формула (8.14), где - нули полинома Лежандра и определяются из системы (8.15), называется квадратурной формулой Гаусса.

Рассмотрим теперь использование квадратурной формулы Гаусса для вычисления общего интеграла . Делая замену переменной , получим . Применяя к последнему интегралу, квадратурную формулу Гаусса получим:

, (8.16)

где , - нули полинома Лежандра , т.е. .

Остаточный член формулы Гаусса (8.16) с n узлами выражается следующим образом:

.

Отсюда получаем:

,

 

,

 

,

 

,

 

.

Выведем квадратурную формулу Гаусса для случая трех ординат. Полином Лежандра третьей степени есть

.

Приравнивая этот полином нулю, находим:

, , .

Для определения коэффициентов в силу системы (8.15) имеем:

Отсюда: , .

Следовательно, .

Таблица 8.2

Элементы формулы Гаусса

n t ti Ai
1;2 ±0.57735027
1;3 ±0.77459667 0.55555556 0.88888889
4;1 3;2 ±0.86113631 ±0.33998104 0.34785484 0.65214516
5;1 4;2 ±0.90617985 ±0.53846931 0.23692688 0.47862868 0.56888889
6;1 5;2 4;3 ±0.93246951 ±0.66120939 ±0.23861919 0.17132450 0.36076158 0.46791394
7;1 6;2 5;3 ±0.94910791 ±0.74153119 ±0.40584515 0.12948496 0.27970540 0.38183006 0.41795918

Пример 8.4 Вычислить интеграл из примера 8.3. по формуле Гаусса для четырех и для пяти точек. Оценить точность вычислений.

 

Метод Гаусса для 4 точек

 

 

 

 

 

 

 

Метод Гаусса для 5 точек

 

 

 

 

 

 

 

В ответе сохраняем шесть верных знаков.

Ответ: 0,423195

Рис. 8.4. Решение примера 8.3 в Mathcad







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 1296. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия