Студопедия — Метод последовательного дифференцирования
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод последовательного дифференцирования






 

Рассмотрим уравнение

 

(9.1)

 

с начальными условиями . Предположим, что искомое частное решение может быть разложено в ряд Тейлора по степеням разности :

Начальные условия непосредственно дают нам значения при . Значение найдем из уравнения (9.1), подставляя и используя начальные условия:

.

Значения последовательно определяются дифференцированием уравнения (9.1) и подстановкой , при .

Доказано, что если правая часть уравнения (9.1) в окрестности точки есть аналитическая функция своих аргументов, то при значениях x, достаточно близких к , существует единственное решение задачи Коши, которое разлагается в ряд Тейлора. Тогда частичная сумма этого ряда будет приближенным решением поставленной задачи.

Аналогично применяется метод последовательного дифференцирования и для решения систем дифференциальных уравнений.

 

Пример 9.1 Найти первые семь членов разложения в степенной ряд решения уравнения y'' +0.1(y')2+(1+0.1 x) y = 0 с начальными условиями y (0)=1, y '(0)=2

 

Решение уравнения ищем в виде ряда

Непосредственно из начальных условий имеем y (0)=1, y '(0)=2

Разрешим уравнение относительно y'';

 

y' '=-0.1(y')2-(1+0.1 x)

 

используя начальные условия, получим

 

y'' (0)=-0.1·4-1·1=-1.4

 

Дифференцируем по x обе части уравнения последовательно получим:

y''' =0.2 y' · y'' -0.1(xy' + y)- y' y'' '(0)=-1.54

 

y (4)=-0.2(y' y''' +(y'')2)-0.1(xy' '+2 y')- y'' y (4)(0)=1.224

 

y (5)= -0.2(y' · y (4)+3 y'' y''') -0.1(xy''' +3 y'')- y''' y (5)(0)=0.1768

 

y (6)(0)= -0.2(y' · y (5)+4 y'' y (4)+3(y''')2)-0.1(x y (4)+4 y''')- y (4) y (6)(0) =-0.7308

 

Искомое решение приближенно запишется в виде:

 

y (x)≈ 1+2 x -0.7 x 2-0.2567 x 3+0.051 x 4+0.00147 x 5-0.00101 x 6

 

Пример 9.2. Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решения y = y (x) z = z(x) системы с начальными условиями y (0)=1 z (0)=0

 

Функции y (x) и z (x) ищем в виде степенных рядов

при х =0 из уравнений системы следует, что y (0)'=1, z (0)'=0

Дифференцируем по х уравнения системы.

Находим y ''(0)=1, z ''(0)=1

Продифференцируем по х уравнения системы еще раз.

y ''' (0)=0, z''' (0)=3

Подставляя найденные значения производных в ряды, получим:

y (x)≈ 1+ x -0.5 x 2, z (x)≈ 0.5 x 2-0.5 x 3







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 7772. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической   Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....

Типовые ситуационные задачи. Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт. ст. Влияние психоэмоциональных факторов отсутствует. Колебаний АД практически нет. Головной боли нет. Нормализовать...

Эндоскопическая диагностика язвенной болезни желудка, гастрита, опухоли Хронический гастрит - понятие клинико-анатомическое, характеризующееся определенными патоморфологическими изменениями слизистой оболочки желудка - неспецифическим воспалительным процессом...

Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...

Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...

Седалищно-прямокишечная ямка Седалищно-прямокишечная (анальная) ямка, fossa ischiorectalis (ischioanalis) – это парное углубление в области промежности, находящееся по бокам от конечного отдела прямой кишки и седалищных бугров, заполненное жировой клетчаткой, сосудами, нервами и...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия