Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Общая формула трапеций и ее остаточный член




 
 

Рис 8.1. Общая формула трапеций

 

Для вычисления интеграла разделим промежуток интегрирования [a,b] на n равных частей и к каждому из них применим формулу трапеций (8.4).

Положим и обозначим через значения подынтегральной функции в точках xi тогда: , или

 

. (8.5)

Геометрически формула (8.5) получается в результате замены графика подынтегральной функции ломаной линией.

Oстаточный член общей формулы трапеций (8.5) равен:

где . (8.6)

Рассмотрим среднее арифметическое значение второй производной на отрезке [a,b] по всем промежуткам

(8.7)

Очевидно, m заключается между наименьшим m2 и наибольшим M2 значениями второй производной на отрезке [a,b], т.е. .

В силу непрерывности на отрезке [a,b], она принимает все значения от m2 до M2. Значит, существует точка ξ, такая что μ=f''(ξ). Из формул (8.6) и (8.7) получим:

 

(8.8)

где

 

Пример 8.1. Выполнено в Mathcad

 

Вычислить интеграл

 

 

по методу трапеций с тремя десятичными знаками.

Сначала для сравнения покажем результат, вычисленный в Mathcad стандартным способом с тремя верными цифрами после запятой.

 

В Mathcad числа могут быть вычислены с 17 десятичными знаками, поэтому не будем учитывать погрешности вычислений и тогда погрешность метода ε=0,0005. Для достижения заданной точности решим неравенство

находится по формуле

 

 

где R- остаточный член формулы трапеций, который находится по формуле (8.8)

 

Пусть M-максимальное по модулю значение f2(x) на [a,b] тогда

 

так как

 

Подставляем в формулу h и решаем неравенство относительно n:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для всех натуральных значений "n" больших , чем полученный корень, остаточный член формулы трапеций будет меньше заданной точности e

 

Hайдем вторую производную f(x) и ее максимум на [a,b]

 

 

 

Найдем значение n, при котором остаточный член будет меньше заданной точности

 

Положим

 

Рис. 8.2. Решение примера 8.1 в Mathcad

 

 

 
 

8.3 Формула Симпсона и ее остаточный член

Рис 8.2. Формула Симпсона

 

Найдем коэффициенты -Котеса для n=1

 

.

Подставим в формулу (8.3)

.

Если подынтегральная функция четырежды дифференцируема, то остаточный член квадратурной формулы Симпсонаравен:

 







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 1208. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.004 сек.) русская версия | украинская версия