Общая формула трапеций и ее остаточный член

Рис 8.1. Общая формула трапеций

 

Для вычисления интеграла разделим промежуток интегрирования [ a, b ] на n равных частей и к каждому из них применим формулу трапеций (8.4).

Положим и обозначим через значения подынтегральной функции в точках x_i тогда: , или

 

. (8.5)

Геометрически формула (8.5) получается в результате замены графика подынтегральной функции ломаной линией.

Oстаточный член общей формулы трапеций (8.5) равен:

где . (8.6)

Рассмотрим среднее арифметическое значение второй производной на отрезке [a, b] по всем промежуткам

(8.7)

Очевидно, m заключается между наименьшим m₂ и наибольшим M₂ значениями второй производной на отрезке [a, b], т.е. .

В силу непрерывности на отрезке [a, b], она принимает все значения от m₂ до M₂. Значит, существует точка ξ, такая что μ =f''(ξ). Из формул (8.6) и (8.7) получим:

 

(8.8)

где

 

Пример 8.1. Выполнено в Mathcad

 

Вычислить интеграл

 

 

по методу трапеций с тремя десятичными знаками.

Сначала для сравнения покажем результат, вычисленный в Mathcad стандартным способом с тремя верными цифрами после запятой.

 

В Mathcad числа могут быть вычислены с 17 десятичными знаками, поэтому не будем учитывать погрешности вычислений и тогда погрешность метода ε =0, 0005. Для достижения заданной точности решим неравенство

находится по формуле

 

 

где R- остаточный член формулы трапеций, который находится по формуле (8.8)

 

Пусть M-максимальное по модулю значение f2(x) на [a, b] тогда

 

так как

 

Подставляем в формулу h и решаем неравенство относительно n:

 

 

 

 

 

 

 

Для всех натуральных значений " n " больших, чем полученный корень, остаточный член формулы трапеций будет меньше заданной точности e

 

Hайдем вторую производную f(x) и ее максимум на [a, b]

 

 

 

Найдем значение n, при котором остаточный член будет меньше заданной точности

 

Положим

 

Рис. 8.2. Решение примера 8.1 в Mathcad

 

 

8.3 Формула Симпсона и ее остаточный член

Рис 8.2. Формула Симпсона

 

Найдем коэффициенты -Котеса для n=1

 

.

Подставим в формулу (8.3)

.

Если подынтегральная функция четырежды дифференцируема, то остаточный член квадратурной формулы Симпсонаравен: