Метод выравниванияК линейной функции можно привести любую функцию вида ψ (y)=aּ φ (x)+b, для этого достаточно сделать замену переменных, z=ψ (y), t=φ (x). Тогда мы получим z=aּ t+b. Рассмотрим показательную функцию . Прологарифмируем это равенство. Получим ln(y)=ln(a)+x ln(b). Сделаем замену переменных z= ln(y), t=x и обозначим А= ln(b) B= ln(a). После замены получим z=A t+b. Аналогично делаются замены и для других функций из таблицы.
Таблица 7.1. Таблица замен
, , .
, , . - табличное значение для xар; - табличное значение для хгеом; - табличное значение для хгарм. В таблице может не оказаться точек тогда точки , доопределяют по соседним точкам таблицы с помощью линейной интерполяции. Для аналитических кривых существуют характерные точки, которые лежат на этих кривых. Например, если две точки принадлежат прямой, то и точка с координатами (, ) принадлежит той же прямой, если две точки принадлежат гиперболе, то и точка (xар, yгарм) также принадлежат этой гиперболе. В таблице через обозначено отклонение табличного значения , соответствующего xар, от ординаты характерной точки , через - отклонение табличного от ординаты характерной точки yгарм и т.д. Остальные находятся аналогично, в зависимости от характерных точек. Функция, для которой примет наименьшее значение и будет наиболее подходящей. После соответствующей замены переменных применяют метод наименьших квадратов.
Пример 7.1 Бомба «Рейда» это техническое устройство для изучения легкоиспаряющихся жидкостей. В эксперименте на бомбе «Рейда» при постоянной температуре измеряется манометром избыточное давление паров нефти при различных соотношениях объёмов газовой и жидкой фаз. Определить эмпирическую зависимость давления паров нефти от соотношения объёмов газовой и жидкой фаз методом наименьших квадратов. Набор экспериментальных данных представлен в таблицах
Для того, чтобы выбрать наиболее подходящую зависимость построим график по табличным данным
Можно предположить, что это будет: 1. показательная функция (строка 2 таблицы 7.1), 2. степенная функция (строка 5 таблицы 7.1), 3. дробно–рациональная функция (строка 3 таблицы 7.1). Выберем ту функцию, для которой примет наименьшее значение.
В таблице данных нет значений , , , подставляя , , вместо v в формулу для линейной интерполяции, найдем соответствующие им значения функции , , .
Самые маленькие . Найдем методом выравнивания параметры для выбранных видов зависимостей. Будем искать аппроксимирующую функцию в виде . Делаем замену переменных
После замены точки ложатся близко к прямой. Параметры этой прямой A и B
После замены z = At + B нашли A и B по методу наименьших квадратов, используя встроенные функции Mathcadа. Функция slope(x, y) возвращает значение углового коэффициента. Функция intercept(x, y) возвращает значение свободного параметра. Возвращаемся к исходной функции , строим её график и находим сумму квадратов отклонений от исходной таблицы значений. Можно также найти и среднеквадратичное отклонение. .
Из двух разных приближений одной и той же табличной функции лучшим считается то, для которого сумма квадратов отклонений меньше. Для этой же таблицы данных рассмотрим приближение, заданное показательной функцией .
Для этой же таблицы данных рассмотрим приближение, заданное дробно-линейной функцией .
Рис. 7.2. Решение примера 7.1 в Mathcad Лучшим приближением для этих экспериментальных данных будет степенная функция.
|