Метод наименьших квадратов для полиномов
Мы рассматривали функции, зависящие от двух параметров. Предположим, что аппроксимирующая функция имеет вид квадратичной зависимости: Аналогично линейной зависимости составим функцию
Возьмем частные производные по a, b и c И приравняем их к нулю
Получим нормальную систему уравнений.
Решив нормальную систему относительно неизвестных a, b, с, найдём значения параметров приближающей функции. Если аппроксимирующая функция является многочленом более высокого порядка “n”, то суть подхода к решению задачи не изменится, а увеличится только число уравнений системы.
Пример 7.2.
Данные предыдущего примера 7.1 аппроксимируем квадратичной зависимостью:
Рис. 7.3. Решение примера 7.2 в Mathcad
Поскольку величина суммы квадратов отклонений для квадратичной зависимости Если аппроксимирующая функция является многочленом более высокого порядка “n”, то суть подхода к решению задачи не изменится, а увеличится только число уравнений системы. Для построения аппроксимирующей зависимости в виде многочлена в Mathcad можно воспользоваться встроенными функциями regress и interp. Функция regress(x, y, k) возвращает вектор коэффициентов полиномов k-й степени, подобранного методом наименьших квадратов по экспериментальным точкам x и y(x -массив абсцисс, y- массив ординат). Элементы массива x должны быть упорядочены по возрастанию. Пример 7.3 Продолжим вычисления с данными примера 7.1:
Естественно, результаты такие же, как в примере 7.2
Для кубической параболы получился самый хороший результат Графики практически совпадают, поэтому не имеет смысла брать приближающий многочлен более высокого порядка.
Рис. 7.4. Решение примера 7.2 в Mathcad
|
.
, где 
(
-табличное значение, 
- эмпирическая формула).
-
. Напомним условие примера
получилась больше, чем у найденной ранее степенной функции, в данном примере предпочтительнее степенная функция. 
