Квадратурная формула Чебышева

Рассмотрим квадратурную формулу

, (8.10)

где - постоянные коэффициенты. Чебышев предположил выбрать абсциссы таким образом, чтобы:

1. коэффициенты были равны между собой;

2. квадратурная формула (8.10) являлась точной для всех полиномов до степени n включительно.

Покажем, как могут быть найдены в этом случае величины и . Полагаем . Учитывая, что при , будем иметь , получаем . Следовательно, квадратурная формула Чебышева имеет вид:

. (8.11)

Для определения абсцисс заметим, что формула (8.11) согласно условию 2 должна быть точной для функции вида . Подставляя эти функции в формулу (8.11), получим систему уравнений:

, (8.12)

из которой могут быть определены неизвестные . Заметим, что система (8.12) при n =8 и n ³ 10 не имеет действительных решений.

 

Выведем формулу Чебышева с тремя ординатами (n =3).

Для определения абсцисс имеем систему уравнений:

 

(8.13)

 

Рассмотрим симметрические функции корней:

 

Из системы (8.13) имеем:

 

Отсюда заключаем по теореме Виета, что есть корни вспомогательного уравнения или . Следовательно, можно принять: .

Таким образом, соответствующая формула Чебышева имеет вид .

Чтобы применить квадратурную формулу Чебышева к интегралу вида , следует преобразовать его с помощью подстановки:

, переводящей отрезок в отрезок . Применяя к преобразованному интегралу формулу Чебышева, будем иметь

,

где и - корни системы (8.13).

В таблице приведены значения корней t_i системы (8.12) для n= 1, 2…, 7.

Таблица 8.1

Значения абсцисс t_i в формуле Чебышева

n	i	ti
	2; 1	±0.577350
	3; 1	±0.707107
	4; 1 3; 2	±0.794654 ±0.187592
	5; 1 4; 2	±0.832498 ±0.374541
	6; 1 5; 2 4; 3	±0.866247 ±0.422519 ±0.266635
	7; 1 6; 2 5; 3	±0.883862 ±0.529657 ±0.323912

Пример 8.3. Вычислить интеграл из предыдущего примера по формуле Чебышева для четырех и для пяти точек в Mathcad.

 

 

 

Оценить точность вычислений.

 

 

 

Вычисление интеграла методом Чебышева для 5точек

 

 

 

 

 

 

Рис. 8.3. Решение примера 8.2 в Mathcad