Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод последовательных приближений





 

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка

с начальным условием . Решение этой задачи эквивалентно решению интегрального уравнения

Метод последовательных приближений состоит в том, что решение получают как предел последовательности функций , которые находятся по рекуррентной формуле

.

Доказано, если правая часть в некотором замкнутом прямоугольнике удовлетворяет условию Липшица по y:

,

то независимо от выбора начальной функции последовательные приближения сходятся на некотором отрезке к решению задачи Коши.

Если f(x, y) непрерывна в прямоугольнике R, то оценка погрешности дается неравенством

,

где , а число h определяется из условия

.

В качестве начального приближения можно взять любую функцию, достаточно близкую к точному решению.

 

Пример 9.3. Найти три последовательных приближения решения уравнения

 

y'=x2+y2 с начальным условием y (0)=0.

 

Учитывая начальное условие, заменяем уравнение интегральным

В качестве начального приближения возьмем y0 (x)≡ 0

Первое приближение находим по формуле

Аналогично получим второе и третье приближения:

 

На практике количество приближений выбирают так, чтобы yn и yn -1 приближения совпадали в пределах допустимой точности. Для n =3 и

y 3 вычислено с точностью порядка 0.001.

 







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 1698. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Йодометрия. Характеристика метода Метод йодометрии основан на ОВ-реакциях, связанных с превращением I2 в ионы I- и обратно...

Броматометрия и бромометрия Броматометрический метод основан на окислении вос­становителей броматом калия в кислой среде...

Метод Фольгарда (роданометрия или тиоцианатометрия) Метод Фольгарда основан на применении в качестве осадителя титрованного раствора, содержащего роданид-ионы SCN...

Кишечный шов (Ламбера, Альберта, Шмидена, Матешука) Кишечный шов– это способ соединения кишечной стенки. В основе кишечного шва лежит принцип футлярного строения кишечной стенки...

Принципы резекции желудка по типу Бильрот 1, Бильрот 2; операция Гофмейстера-Финстерера. Гастрэктомия Резекция желудка – удаление части желудка: а) дистальная – удаляют 2/3 желудка б) проксимальная – удаляют 95% желудка. Показания...

Ваготомия. Дренирующие операции Ваготомия – денервация зон желудка, секретирующих соляную кислоту, путем пересечения блуждающих нервов или их ветвей...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия