Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод последовательных приближений




 

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка

с начальным условием . Решение этой задачи эквивалентно решению интегрального уравнения

Метод последовательных приближений состоит в том, что решение получают как предел последовательности функций , которые находятся по рекуррентной формуле

.

Доказано, если правая часть в некотором замкнутом прямоугольнике удовлетворяет условию Липшица по y:

,

то независимо от выбора начальной функции последовательные приближения сходятся на некотором отрезке к решению задачи Коши.

Если f(x,y) непрерывна в прямоугольнике R, то оценка погрешности дается неравенством

,

где , а число h определяется из условия

.

В качестве начального приближения можно взять любую функцию, достаточно близкую к точному решению.

 

Пример 9.3. Найти три последовательных приближения решения уравнения

 

y'=x2+y2 с начальным условием y(0)=0.

 

Учитывая начальное условие, заменяем уравнение интегральным

В качестве начального приближения возьмем y0(x)≡0

Первое приближение находим по формуле

Аналогично получим второе и третье приближения:

 

На практике количество приближений выбирают так, чтобы yn и yn-1 приближения совпадали в пределах допустимой точности. Для n=3 и

y3 вычислено с точностью порядка 0.001.

 







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 1032. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия