Метод последовательных приближений
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка
с начальным условием Метод последовательных приближений состоит в том, что решение
Доказано, если правая часть
то независимо от выбора начальной функции последовательные приближения Если f(x, y) непрерывна в прямоугольнике R, то оценка погрешности дается неравенством
где
В качестве начального приближения
Пример 9.3. Найти три последовательных приближения решения уравнения
y'=x2+y2 с начальным условием y (0)=0.
Учитывая начальное условие, заменяем уравнение интегральным
В качестве начального приближения возьмем y0 (x)≡ 0 Первое приближение находим по формуле
Аналогично получим второе и третье приближения:
На практике количество приближений выбирают так, чтобы yn и yn -1 приближения совпадали в пределах допустимой точности. Для n =3 и
|
. Решение этой задачи эквивалентно решению интегрального уравнения 
получают как предел последовательности функций 
, которые находятся по рекуррентной формуле
.
в некотором замкнутом прямоугольнике 
удовлетворяет условию Липшица по y:
,
к решению задачи Коши.
,
, а число h определяется из условия
.
можно взять любую функцию, достаточно близкую к точному решению.
y 3 вычислено с точностью порядка 0.001.
