Студопедия — Метод неопределенных коэффициентов
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод неопределенных коэффициентов






Этот метод рекомендуют применять при решении линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Суть метода покажем на примере уравнения второго порядка

с начальными условиями . Предположим, что каждый из коэффициентов уравнения можно разложить в ряд по степеням x:

, , .

Решение данного уравнения будем искать в виде ряда

, (9.3)

где - коэффициенты, подлежащие определению.

Дифференцируем обе части равенства (9.3) два раза по x:

, .

Подставляя полученные ряды для в уравнение , получим:

 

. (9.4)

Произведя умножение рядов и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и в правой частях тождества (9.4), получим систему

 

(9.5)

 

где означает линейную функцию аргументов .

Каждое уравнение системы (9.5) содержит на одно неизвестное больше по сравнению с предыдущим уравнением. Коэффициенты определяются из начальных условий, а все остальные последовательно определяются из системы (9.5). Доказано, что если ряды , , сходятся при , то полученный степенной ряд сходится в той же области и является решением уравнения

 

.

 

Пример 9.4 Найти решение уравнения с начальными условиями в виде степенного ряда. Ограничиться 6 членами ряда.

 

Разложим коэффициенты уравнения в соответствующие степенные ряды.

p (x)=- x q (x)=-1

Будем искать решение уравнения в виде ряда

y=c0+c1x+c2x2+ c3x3+ c4x4+…+cnxn +… тогда

 

y'=c1+2c2x+3c3x2+4c4x3+…+n cnxn-1 +…

 

-y'x=-c1x-2c2x2-3c3x3-4c4x4-…- n cnxn +…

 

y''=2c2+6c3x+12c4x2+20c5x3+…+n(n-1) cnxn- 2+…

 

Подставив полученные ряды в уравнение примера, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему для определения ci.

c 0=0, c 1=1 возьмем из начальных условий.

 

x0 c0 + 2 c2 = 0,

x1 6 c3 = 0,

x2 – c2 + 12 c4 = ,

x3 – 2 c3 + 20 c5 = 0,

x 4 – 3 c4 + 30 c6 = ,

x 5 – 4 c5 + 42 c7 = 0,

x 6 – 5 c6 + 56 c8 = .

 

Решая последовательно систему, получим, что нечетные коэффициенты нули, а

Приближенное решение задачи получаем в виде

 







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 1389. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Машины и механизмы для нарезки овощей В зависимости от назначения овощерезательные машины подразделяются на две группы: машины для нарезки сырых и вареных овощей...

Классификация и основные элементы конструкций теплового оборудования Многообразие способов тепловой обработки продуктов предопределяет широкую номенклатуру тепловых аппаратов...

Именные части речи, их общие и отличительные признаки Именные части речи в русском языке — это имя существительное, имя прилагательное, имя числительное, местоимение...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия