Рассмотрим дифференциальное уравнение
(9.6)
с начальным условием 
. Выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоящих точек 
.
В методе Эйлера приближенные значения 
вычисляются по формулам 
. При этом искомая интегральная кривая 
, проходящая через точку 
, заменяется ломанной 
с вершинами 
; каждое звено 
этой ломанной, имеет направление той интегральной кривой уравнения 
, которая проходит через точку 
.
Если правая часть уравнения 
в некотором замкнутом прямоугольнике 
удовлетворяет условиям
,
,
то имеет место следующая оценка погрешности:
,
где 
- значение точного решения уравнения при 
, а 
- приближенное значение, полученное на n-м шаге в этой же точке.
На практике, для оценки точности полученных результатов, применяют двойной пересчет: расчет повторяют с шагом 
и погрешность более точного значения 
в точке оценивают приближенно так:
Пример 9.5. Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений решения дифференциального уравнения 
с начальным условием y(0)=2 на отрезке [0; 0.5] с шагом h с точностью до трёх знаков. Выполним это задание в Mathcad
| Для этого разделим промежуток [ a, b ] на n частей и найдем шаг интегрирования h.
|
Разделим промежуток интегрирования на 2n частей и
пересчитаем значения yi с новым шагом h/2
Решением уравнения является таблица значений уi, найденных в точках отрезка [0; 0.5] с шагом h=0, 01 с точностью до трёх знаков.
Рис 9.1 Решение примера 9.5 в Mathcad методом Эйлера
