Итерационные методы для обратного интерполирования

 

Если функция y = f(x) задана таблицей с равноотстоящими узлами, то записываем для нее один из интерполяционных многочленов, например первый интерполяционный многочлен Ньютона:

(5.4)

Рассматривая последнее выражение как уравнение относительно q, находим q по заданному значению y, а затем вычисляем x=x₀+qh

Если число узлов велико, то получим алгебраическое уравнение высокой степени, при решении которого удобно применять метод итераций. Запишем уравнение (5.4) в виде

(5.5)

За начальное приближение принимаем ,

а затем применяем процесс итерации

В большинстве случаев при достаточно малом шаге h = x_i+1-x_i процесс итерации сходится к искомому корню.

Условием сходимости является выполнение неравенства

На практике считают до тех пор, пока два последовательных значения q_k и q_k+1 не совпадут с заданной точностью.

 

Пример 5.6 Используя таблицу значений функции y = sh x найти x при котором sh x=5.

 

Таблица 5.5.

Значения функции y = sh x

x	y	Δ y	Δ 2y	Δ 3y
2.2	4.457	1.009	0.220	0.054
2.4	5.466	1.229	0.274	0.043
2.6	6.695	1.503	0.317
2.8	8.198	1.820
3.0	10.018

 

Составляем первый интерполяционный многочлен Ньютона, останавливаясь на разностях третьего порядка, которые практически уже постоянны:

Полагаем x₀ = 2.2, так как заданное значение y = 5 находится между y₀ = 4.457 и y₁ = 5.466. Итерирующая функция имеет вид

Начальное приближении

Затем последовательно находим

Таким образом, мы можем принять q = 0.564 и

 

x = 2.2+0.564*0.2 = 2.313

с точностью до 0.001.