Вычисление лагранжевых коэффициентов

 

(5.2)

Можно записать лагранжевы коэффициенты и более компактно: , (5.3)

где .

Формула Лагранжа при этом имеет вид .

Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть использована приведенная ниже схема. Сначала располагаем в таблицу разности

 

Таблица 5.3.

Таблица разностей

 

Обозначим произведение элементов первой строки через D0, второй – D1 и т.д. Произведение же элементов главной диагонали, очевидно, будет . Отсюда следует, что

.Следовательно,

.

 

Пример 5.3 Выполнено в Mathcad

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в неравно- отстоящих узлах таблицы.

 

 

 

Рис 5.2. Решения примера 5.3 в Mathcad

 

 

Отметим, что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки (a, b – постоянны). Действительно, положив в формуле (5.2):

, , ,

после подстановки и сокращения числителя и знаменателя на aⁿ, получим:

или

,

где , что и требовалось доказать.

В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут быть приведены к более простому виду.

В самом деле, полагая , будем иметь: . Отсюда

и

.

Тогда ,

где . Отсюда можно записать:

(5.4)

где

 

Пример 5.4 Выполно в Mathcad.

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы

 

 

Рис 5.3. Решения примера 5.4 в Mathcad