Частотный спектр непериодического сигнала

Рядом Фурье вида (3.3) или (3.12) могут быть представлены только периодические сигналы. Но строго периодических сигналов не бывает, т.к. сигналы имеют начало и конец, изменяют свою форму в связи с модуляцией, действием помех. Всякий непериодический сигнал (неповторяющийся, однократный) можно рассматривать как периодический, период которого равен , т.е. T₀ → ∞.

Рисунок 3.4 - Непериодический сигнал

При увеличении периода T₀ интервалы между частотами гармонических составляющих в спектре сигнала и амплитуды спектральных составляющих уменьшаются и в пределе, при T₀ → ∞, становятся бесконечно малыми величинами (3.2). При этом ряд Фурье, представляющий спектральное разложение периодического сигнала, преобразуется в интеграл Фурье, отображающий спектральное разложение непериодического сигнала.

Рассмотрим, как произойдут эти изменения. Для этого в ряд Фурье (3.12) и в выражение (3.13) введем

,

Из выражения (3.2) следует, что kω ₀ = k 2π / T ₀ и превращается в текущее значение частоты при T ₀→ ∞, т.е. kω ₀ → ω, тогда пределом интеграла F является некоторая функция частоты:

(3.14)

Данная функция имеет смысл спектральной плотности комплексной амплитуды. Комплексные амплитуды при T =∞ становятся бесконечно малыми:

.

В связи с этим в выражении для ряда Фурье сумма может быть заменена интегралом Фурье. В результате получается прямое и обратное преобразование Фурье:

	– для вычисления спектральной плотности амплитуды	(3.15)
	– для восстановления исходного сигнала по спектру

Примеры непериодического сигнала: