Интерполяционные формулы Ньютона для равностоящих узлов

Интерполяционные многочлены Ньютона можно построить только при равноотстоящем расположении узлов интерполирования (точки должны быть равноотстоящие).

Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть функция y=f(x) задана своими значениями в n+1 узлах интерполирования, т. е.

y ₁ = f(x ₁ ); y₂ = f(x ₂ ); … f(x_{n+ 1} ); …, f(x_{n+ 1} ) = y_{n+ 1}

h = x_{i+ 1} -x_i = const,

n+ 1 =m.

Требуется найти многочлен P_n(x) такой, чтобы

P_n(x ₁ ) = f(x ₁ ),

P_n(x ₂ ) = f(x ₂ ),

¼,

P_n(x_{n+ 1} ) = f(x_{n+ 1} ).

Первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

. (10)

В этой формуле Dⁿу ₁ означает конечную разность n -го порядка в точке у₁. Понятие конечной разности связано с понятием производной. По определению производная

.

В нашем случае Dх = x_{i+ 1} – x_i= h, как правило, не является бесконечно малой величиной. Приращение функции или конечная разность первого порядка в точке у₁ записывается так:

Dу ₁ = у ₂ – у ₁,

конечная разность второго порядка в точке у₁

D ² у₁ =D у₂ – D у₁ =(у₃ – у₂)–(у₂ – у₁) = у₃ – 2у₂ + у ₁

¼

конечная разность третьего порядка в точке у₁

D ³ у₁=D ² у ₂ – D ² у ₁ =(Dу ₃ –Dу ₂ )–(Dу ₂ – Dу ₁ ) =Dу ₃ – 2Dу ₂ +D у ₁ =

=(у ₄ –у ₃ )–2(у ₃ – у ₂ )+ (у ₂ – у ₁ )

Dⁿу ₁ = D(D^n-1y ₁ ).

Понятие конечной разности используется также при численном решении дифференциальных уравнений.

Первая интерполяционная формула Ньютона не использует последний узел интерполирования, а значит, точность интерполирования в начале таблицы будет выше, чем в конце.

Пример 3.Рассмотрим ту же задачу примера 1. Количество экспериментальных точек m= 3. Порядок 1-й интерполяционной формулы Ньютона n =2.

Формула (10) для n =2 будет выглядеть следующим образом:

,

Dу ₁ = у ₂ – у ₁,

D² у ₁ =D у ₂ – D у ₁ = у ₃ – 2 у ₂ + у ₁,

h= 4

или, подставив табличные значения, получим:

.

.

a ₀ = – 1, 59375, a ₁ = 3, 8125, a ₂ = – 0, 21875, при x =3 P ₂ (x) = 7, 875.

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Формула имеет вид:

(11)

Вторая формула Ньютона используется для интерполирования в конце таблицы, т. к. не рассматривает первый узел интерполирования (х₁, у₁).

Пример 4.Рассмотрим ту же задачу примера 1. Количество экспериментальных точек m= 3. Порядок 2-й интерполяционной формулы Ньютона n =2.

Формула (11) для n =2 будет выглядеть следующим образом:

,

Dу₂ = у₃ – у₂, D² у ₁ =D у ₂ – D у ₁ = у ₃ – 2у ₂ + у ₁, h=4.

.

.

a ₀ = – 1, 59375, a ₁ = 3, 8125, a ₂ = – 0, 21875.

При x =3 получаем P ₂ (x) = 7, 875.

Существуют и другие интерполяционные полиномы. Все интерполяционные полиномы предназначены для получения аналитического приближенного описания реального процесса по его n +1 экспериментальным точкам.