Метод неопределенных коэффициентов.

Методзаключается в том, что если в уравнение (5) подставить табличные значения , то определение коэффициентов сводится к решению системы m линейных уравнений:

(6)

относительно коэффициентов a₀, a₁, ¼, a_n.

Следует помнить, что m=n+1, где m – количество экспериментальных точек в таблице, n – количество определяемых коэффициентов.

Система (6) имеет единственное решение, поскольку определитель матрицы коэффициентов (определитель Вандермонда) отличен от «0». Для решения системы линейных уравнений (6) чаще всего используют методы Крамера, Гаусса, обращения матриц (см. пункт 6.2, стр. 92) и др.

Пример 1.Задание: интерполировать табличную зависимость, представленную в табл. 3. Найти значение y в контрольной точке x = 3.

Решение. Количество экспериментальных точек m= 3. Следовательно, порядок интерполяционного многочлена n =2. Для n =2 формула (3) будет выглядеть:

.

Пользуясь полученной формулой, составим систему линейных уравнений:

или, подставив табличные значения, получим:

Решив полученную систему уравнений одним из методов решения систем линейных уравнений (см. пункт 6.2, стр. 92), получим значения неизвестных коэффициентов a₀= – 1, 59375, a₁= 3, 8125, a₂= – 0, 21875.

Тогда интерполяционная зависимость будет выглядеть:

.

При x =3 f₂(x) =7, 875.

Другим способом определения коэффициентов уравнения (5), позволяющим избежать решение системы уравнений (6) является построение интерполяционных многочленов, обеспечивающих равенство расчетных и экспериментальных значений функций в заданных узлах интерполирования, то есть точках (х_i, y_i).