Теоретическая дисперсия является мерой разброса для вероятностного распределения. Она определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной
и ее средним, т.е. величины
, где
– математическое ожидание
. Дисперсия обычно обозначается как
или
, и если ясно, о какой переменной идет речь, то нижний индекс может быть опущен:
. (A.8)
Из
можно получить
– среднее квадратическое отклонение – столь же распространенную меру разброса для распределения вероятностей; среднее квадратическое отклонение случайной переменной есть квадратный корень из ее дисперсии.
Мы проиллюстрируем расчет дисперсии на примере с одной игральной костью. Поскольку
, то
в этом случае равно
. Мы рассчитаем математическое ожидание величины
, используя схему, представленную в табл. A.5. Дополнительный столбец
представляет определенный этап расчета
. Суммируя последний столбец в табл. I.5, получим значение дисперсии
, равное 2, 92. Следовательно, стандартное отклонение (
) равно
, то есть 1, 71.
Таблица A.5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1/6
| –2, 5
| 6, 25
| 1, 042
|
| 1/6
| –1, 5
| 2, 25
| 0, 375
|
| 1/6
| –0, 5
| 0, 25
| 0, 042
|
| 1/6
| 0, 5
| 0, 25
| 0, 042
|
| 1/6
| 1, 5
| 2, 25
| 0, 375
|
| 1/6
| 2, 5
| 6, 25
| 1, 042
|
Всего
| 2, 92
|
Одним из важных приложений правил расчета математического ожидания является формула расчета теоретической дисперсии случайной переменной, которая может быть записана как
. (A.9)
Это выражение иногда оказывается более удобным, чем первоначальное определение. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.