КВАНТОВЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Из предыдущих разделов известно, что любая квантовая система предоставляет частицам, ее составляющим, занимать разрешенные квантовые состояния. Число и параметры этих состояний зависят от конкретного устройства системы и, в частности, от природы самих частиц. Поставим задачу вычисления средней заселенности некоторого квантового состояния, которое характеризуется энергией . Под средней заселенностью подразумевается среднее число частиц, обладающих указанной энергией.

Для подсчета средних значений будем использовать общий подход, который при расчете средней по ансамблю величины параметра, принимающего значение с вероятностью , сводится к формуле:

где суммирование ведется по всем возможным значениям индекса , т. е. с учетом всех возможных значений параметра . Формулу для вероятности состояния системы, состоящей из частиц, мы вывели в предыдущем разделе. Поэтому последнюю формулу можем переписать в виде

Как было установлено в разделе 1.6, все частицы подразделяются на два сорта — фермионы, на которые распространяется принцип запрета Паули, и бозоны, не подчиняющиеся принципу запрета. Очевидно, что результаты подсчета средней заселенности энергетического состояния для частиц разных типов будут различны.

Начнем с фермионов. Некоторое состояние может быть либо свободным, в этом случае ввиду отсутствия частицы и энергия равна нулю, либо занято одной частицей, при этом энергию частицы обозначим . В силу действия на фермионы принципа запрета, других вариантов заполнения состояния частицами не будет. Выпишем два этих варианта

Соответствующая сумма Гиббса будет равна

Средняя заселенность

Подставляя сюда найденное выражение для суммы Гиббса, после элементарных преобразований найдем среднюю по ансамблю заселенность состояния с энергией в системе фермионов

Рис. 15. Распределение Ферми–Дирака (1) и Бозе–Эйнштейна (2)

Полученное выражение носит название распределение Ферми–Дирака. График зависимости < N> от энергии приведен на рис. 15. Обратим внимание на то, что при температуре , стремящейся к нулю, все состояния с энергией ниже некоторого уровня , оказываются заняты фермионами < N> =1, а заселенность состояний с равна нулю. Данное значение энергии называется энергией Ферми. С ростом температуры доля состояний с начинает расти, за счет снижения заселенности состояний с энергий меньшей энергии Ферми (рис. 15).

Рассмотрим теперь заселенность состояния с энергией в системе бозонов. Поскольку бозоны не ограничены принципом запрета, то система может содержать неограниченное число бозонов c энергией . Запишем значения энергии и числа частиц для различных состояний системы бозонов (табл. 2). Таким образом, если в системе пребывает бозонов, то ее энергия . Поэтому большая сумма Гиббса будет содержать бесконечное число слагаемых

где . При условии последняя сумма будет сходящейся как бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем меньшим 1 — .

Таблица 2