Давление идеального газа

Рис. 16. К выводу формулы давления идеального газа

Рассчитаем давление, создаваемое идеальным газом, находящимся при температуре , при концентрации частиц . По определению давление является силой, действующей на единицу площади поверхности. Рассмотрим плоскую стенку сосуда, перпендикулярную оси (рис.1 6). Сила, с которой газ действует на стенку, возникает в результате ударов частиц, составляющих газ. Из стандартного соотношения механики , где — вектор силы, p — импульс, мы можем заключить, что сила, действующая на стенку, равна импульсу, передаваемому ей частицами за единицу времени. Для выбранной стенки (рис. 16) нас будет интересовать проекция вектора импульса на ось .

Частица газа, совершая упругое столкновение со стенкой, изменяет свою скорость с на . При этом ее импульс изменяется на величину . Таким образом, при одном ударе частицы стенке передается импульс, равный . Рассчитаем, сколько таких ударов придется на единицу поверхности стенки за 1 с. Найденная величина и будет давлением газа на стенку. Выделим на поверхности стенки участок площадью 1 м² (рис. 16). Построим на этом участке площади, как на основании цилиндр, высота которого численно равна . При таком выборе высоты цилиндра все частицы, в нем заключающиеся, в течение единицы времени достигнут поверхности стенки, т. е. за единицу времени на единице поверхности стенки произойдет ударов. Поэтому за единицу времени стенке будет предан импульс . По сути дела мы нашли давление, которое создавали бы частицы, летящие с некоторой фиксированной скоростью . Нам, однако, известно, что на самом деле скорости частиц разные и подчинены распределению Максвелла. Поэтому для расчета давления нам потребуется проинтегрировать найденную величину по всем скоростям с учетом их доли в общем распределении Максвелла

Следует обратить внимание на то, что нижний предел интегрирования по взят равным нулю, а не минус бесконечности, поскольку нас интересуют только положительные проекции , приводящие к столкновению со стенкой (рис. 16). Разбивая экспоненту на сомножители, получим

Выражение для первых двух интегралов в правой части последней формулы было найдено нами ранее: . Для вычисления третьего интеграла выполним однократное дифференцирование (41) по параметру . При этом получим

Подставляя значения интегралов и постоянной в выражение для давления, найдем

После упрощения выражения получим

Из общего курса физики хорошо известна формула для расчета давления идеального газа , где Дж/K — постоянная Больцмана, — абсолютная температура. Сравнивая с полученной нами формулой, находим связь между введенной нами энергетической температурой и термодинамической температурой : . Существенно отметить, что сделанный нами вывод закона для давления идеального газа проистекает из самых общих положений квантовой статистики и не использует каких-либо опытных данных.