Примеры. 1. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство L

1. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство L, натянутое на векторы . Все векторы заданы координатами относительно ортонормированного базиса.

, , ,

Нетрудно убедиться, что и что за базис можно принять векторы и . Нам будет удобно перейти к ортонормированному базису в L. Применяя процедуру ортогонализации к векторам и , получим ортонормированный базис в L:

,

Заметьте, что векторы и линейно выражаются через и и, значит, также принадлежат L. Имеем теперь

2. Требуется найти расстояние от точки, заданной вектором до плоскости (линейного многообразия), заданной системой уравнений

Расстояние между точкой и множеством L определится следующим образом

Для вычисления расстояния удобно перейти к параметрическому уравнению плоскости. Имеем и поэтому всякий вектор представляется в виде

где — фиксированный радиус-вектор точки плоскости; и — базис направляющего линейного подпространства, которое задается соответствующей однородной системой. Решая уравнение, получим, например,

, ,

Затем

Векторы и принадлежат направляющему подпространству M плоскости L. Вектор . Так как , а , то

Правая часть этого неравенства и есть искомое расстояние. Осталось вычислить вектор и найти его норму. Проделав для этого аналогичные вычисления и вычислив длину вектора, получим, что .

3. Пусть — ортонормированная система векторов евклидова пространства E_n. Нужно доказать, что для любого вектора имеет место неравенство Бесселя

с равенством тогда и только тогда, когда , т.е. векторы образуют ортонормированный базис в E_n.

Так как — ортонормированная система, то ее всегда можно векторами достроить до ортонормированного базиса в E_n. Разложим вектор по этому базису. Имеем

Далее,

или

С равенством тогда и только тогда, когда . Исключение составляют случаи, когда или когда принадлежит линейной оболочке векторов .

Задачи

1. Показать, что в пространстве R_n скалярное произведение векторов и может быть определено выражением

где .

2. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов:

а)

, ,

б)

, , ,

3. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов до ортонормированного базиса , .

4. Найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы:

, ,

5. Линейное подпространство L задано уравнениями

Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение .

6. Показать, что задание линейного подпространства L пространства E_n и его ортогонального дополнения в ортонормированном базисе связаны так: коэффициенты линейно независимой системы уравнений, задающей одно из этих подпространств, служат координатами векторов базиса другого подпространства.

7. Доказать, что

Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство L.

8. , а L натянуто на векторы

; ,

9. , а L задано системой уравнений

10. Найти расстояние от точки, заданной вектором до плоскости (линейного многообразия), заданного системой уравнений

11. Найти расстояние между двумя плоскостями и , где

, , ,

, ,

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Воеводин В. В. Линейная алгебра. — М.: «Наука», 1974. — 400 с.

2. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: «Наука», 1974. — 250 с.

3. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: «Наука», 1970. — 355 с.

 

СОДЕРЖАНИЕ

1. Линейные пространства. Определение 3

1.1. Задачи 4

2. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора 5

2.1. Задачи 10

3. Подпространства линейного пространства 11

3.1. Задачи 16

4. Точечно-векторное аффинное пространство 19

4.1.Система координат в пространстве 19

4.2. Прямая и плоскость в 20

4.3. Задачи 23

5. Евклидовы и унитарные пространства 25

5.1.Ортонормированный базис евклидова и унитарного

пространств 27

5.2.Ортогональное дополнение 30

5.3. Проектирование вектора на подпространства 31

5.4. Задачи 35

Литература 37