Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры. 1. Пространство V3. В этом пространстве вся­кие три некомпланарных вектора линейно независимы, а всякие че­тыре вектора линейно зависимы




1. Пространство V3. В этом пространстве вся­кие три некомпланарных вектора линейно независимы, а всякие че­тыре вектора линейно зависимы. Следовательно, .

2. Пространство Rn. В этом пространстве всякие вектор линейно зависимы и существуют системы из n линейно независимых векторов, например, система векторов (2). Следовательно,

Если в линейном пространстве X существует базис из n векторов, то , обратно, если , то вся­кая система из n линейно независимых векторов образует базис пространства X.

Всякие два базиса и пространства X связаны между собой симметричными формулами

(2.4)

(2.5)

где невырожденные матрицы и являются взаимно обратными, i-й столбец матрицы A образуют координаты вектора в базисе из векторов . Формулы (2.4) и (2.5) называются формулами перехода, матрицы A и матрицами перехода.

Если и – координаты вектора в базисах и , соответственно, то

(2.6)

(2.7)

Пример: Доказать, что каждая из данных двух систем векторов является базисом R3 и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:

Для доказательства того, что данные системы векторов являются базисными, вычислим, как и в предыдущем примере, ранги матриц

и

Нетрудно убедиться, что , и, следовательно, в R3 данные системы векторов образуют базисы. Для определения связи координат необходимо получить формулы перехода (2.4) и (2.5). Имеем

Откуда получаем систему девяти скалярных уравнений

Решая системы уравнений, получаем матрицу перехода

и связь между «старыми» и «новыми» координатами:

Задачи

1. Доказать, что если система векторов содер­жит нулевой вектор, то совокупность векторов линейно зависима.

2. Доказать, что если часть из векторов линейно зависима, то и вся эта совокупность векторов линейно зависима.

Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе:

3.

, , ,

4.

, , ,

5.

, , , ,

6. Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом, и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах.

, , ,

, , ,

7. Доказать линейную независимость системы функций , где – попарно различные действительные числа.

8. Определить размерность линейного пространства квадратных матриц n-го порядка.

9. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:

а) поменять местами два вектора первого базиса;

б) поменять местами два вектора второго базиса;

в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 1516. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.003 сек.) русская версия | украинская версия