Примеры. 1. Пространство V3. В этом пространстве вся­кие три некомпланарных вектора линейно независимы, а всякие че­тыре вектора линейно зависимы

1. Пространство V ₃. В этом пространстве вся­кие три некомпланарных вектора линейно независимы, а всякие че­тыре вектора линейно зависимы. Следовательно, .

2. Пространство R_n. В этом пространстве всякие вектор линейно зависимы и существуют системы из n линейно независимых векторов, например, система векторов (2). Следовательно,

Если в линейном пространстве X существует базис из n векторов, то , обратно, если , то вся­кая система из n линейно независимых векторов образует базис пространства X.

Всякие два базиса и пространства X связаны между собой симметричными формулами

(2.4)

(2.5)

где невырожденные матрицы и являются взаимно обратными, i -й столбец матрицы A образуют координаты вектора в базисе из векторов . Формулы (2.4) и (2.5) называются формулами перехода, матрицы A и — матрицами перехода.

Если и – координаты вектора в базисах и , соответственно, то

(2.6)

(2.7)

Пример: Доказать, что каждая из данных двух систем векторов является базисом R ₃ и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:

Для доказательства того, что данные системы векторов являются базисными, вычислим, как и в предыдущем примере, ранги матриц

и

Нетрудно убедиться, что , и, следовательно, в R ₃ данные системы векторов образуют базисы. Для определения связи координат необходимо получить формулы перехода (2.4) и (2.5). Имеем

Откуда получаем систему девяти скалярных уравнений

Решая системы уравнений, получаем матрицу перехода

и связь между «старыми» и «новыми» координатами:

Задачи

1. Доказать, что если система векторов содер­жит нулевой вектор, то совокупность векторов линейно зависима.

2. Доказать, что если часть из векторов линейно зависима, то и вся эта совокупность векторов линейно зависима.

Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе:

3.

, , ,

4.

, , ,

5.

, , , ,

6. Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом, и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах.

, , ,

, , ,

7. Доказать линейную независимость системы функций , где – попарно различные действительные числа.

8. Определить размерность линейного пространства квадратных матриц n -го порядка.

9. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:

а) поменять местами два вектора первого базиса;

б) поменять местами два вектора второго базиса;

в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?