Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Точечно-векторное аффинное пространство






Определение. Пусть некоторое множество состоит из элементов двух типов, которые будем называть «точками» и «векторами». Пусть при этом множество векторов образует n-мерное линейное пространство, а множество точек не пусто.

Множество называется точечно-векторным аффинным пространством, если:

1. Каждая пара точек А1 и A2, заданных в определенном порядке, определяет единственный вектор .

2. Для каждой точки А1, и каждого вектора существует единственная точка A2, такая, что .

3. Если и , то .

Пространство называется n-мерным, если n-мерно соответствующее линейное пространство.

Пример. Данному определению удовлетворяет, очевидно, обыч­ное геометрическое пространство, в котором векторы вводятся как упорядоченные пары точек. Вторая аксиома соответствует возможности отложить любой вектор из произвольной точки, а третья аксиома со­ответствует определению сложения векторов.

4.1. Система координат в пространстве

Если в пространстве Vn зафиксировать некоторую точку O, то в силу свойств 1 и 2 между всеми остальными точками и векторами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Вектор назы­вается радиус-вектором точки А относительно точки O.

Определение. Системой координат в пространстве Vn, называется совокупность фиксированной точки O и некоторого базиса в Vn.

Координатами вектора в заданной сис­теме координат пространства Vn называются координаты вектора относительно базиса .

Координатами точки А в данной системе ко-
ординат пространства Vn называются координаты радиус-вектора точки относительно базиса.

Всякие два базиса пространства Vn и связаны между собой формулами перехода

где вектор-столбцы матриц перехода и состоят из координат векторов и соответственно в базисах и .

Если даны две системы координат O, и , , то координаты любой точки и относительно этих систем координат связаны соотношениями

,

где – координаты точки в – матрица перехода.

4.2.Прямая и плоскость в Vn

Определение. Пусть в аффинном пространстве Vn заданы собственное подпространство L и фиксированный вектор .Множество

называется плоскостью в Vn. Размерностью плоскости X называется размерность соответствующего подпространства .

Одномерная плоскость пространства Vn называется прямой линией.

Плоскость размерности называется гиперплоскостью.

Две плоскости называются совпадающими, если они состоят из одних и тех же точек (векторов) пространства; в противном случае они называются несовпадающими.

Множество точек n-мерного пространства, принадлежащих как плоскости X1, так и плоскости X2, называется их пересечением, а сами плоскости X1 и X2 пересекающимися, если .

Две несовпадающие плоскости и , полученные сдвигом одного и того же подпространства L, называются параллельными.

Из определения плоскости следует, что всякая плоскость является линейным многообразием.

Всякая k-мерная плоскость может быть задана либо параметрическим уравнением

,

где — базис в L, — произвольные числа, либо как линейное многообразие системой линейных неоднородных уравнений

ранга n-k, где — координаты вектора .

В частности, всякая прямая задается либо системой линейных уравнений ранга , либо параметрическим уравнением

где направляющий вектор прямой, λ — параметр. Если и — радиус-векторы двух точек прямой, то можно записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки

,

Наконец, в координатной форме можно записать каноническое уравнение прямой

,

где — координаты точки , — координаты некоторой фиксированной точки прямой; -координаты направляющего вектора прямой.

Всякая гиперплоскость задается одним линейным уравнением







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 1932. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Схема рефлекторной дуги условного слюноотделительного рефлекса При неоднократном сочетании действия предупреждающего сигнала и безусловного пищевого раздражителя формируются...

Ситуация 26. ПРОВЕРЕНО МИНЗДРАВОМ   Станислав Свердлов закончил российско-американский факультет менеджмента Томского государственного университета...

Различия в философии античности, средневековья и Возрождения ♦Венцом античной философии было: Единое Благо, Мировой Ум, Мировая Душа, Космос...

Характерные черты немецкой классической философии 1. Особое понимание роли философии в истории человечества, в развитии мировой культуры. Классические немецкие философы полагали, что философия призвана быть критической совестью культуры, «душой» культуры. 2. Исследовались не только человеческая...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.021 сек.) русская версия | украинская версия