Примеры. 1. Необходимо найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы две прямые и пространства лежали в одной двумерной плоск

1. Необходимо найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы две прямые и пространства лежали в одной двумерной плоскости.

Предположим вначале, что две данные прямые лежат в одной плоскости с уравнением

где λ₁, λ₂ — параметры. Тогда при некоторых , , ,

 

а при некоторых , , .

Поэтому вектор принадлежит линейной оболочке векторов и . Далее для произвольной точки 1 прямой найдутся такие λ₁ и λ₂, что

Значит и . Аналогично . Но всякие три вектора из двумерного подпространства линейно зависимы. Следовательно, необходимым условием принадлежности прямых плоскости является линейная зависимость векторов . Обратно, пусть линейно зависимы. Тогда существуют такие λ₁ и λ₂, что . Поэтому уравнение второй прямой можно переписать в виде

Очевидно, что теперь оба уравнения содержатся в уравнении плоскости H:

где t и τ параметры, и, следовательно, прямые принадлежат плоскости H.

2. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы две прямые и проходили через одну точку, но не совпадали.

Предположим, что при некоторых значениях параметров для первой прямой и для второй прямые пересекаются. Тогда

Отсюда следует, что векторы линейно зависимы. Данное соотношение далее можно при известных рассматривать как систему линейных уравнений (в координатной форме) на определение t ₁ и t ₂. Так как прямые не совпадают, то решение системы

(4.1)

единственно. Значит ранг матрицы системы равен 2 и векторы должны быть линейно независимы. Обратно пусть – линейно независимы, векторы – линейно зависимы. Тогда система (4.1) имеет и причем единственное решение. Следовательно, прямые пересекаются в единственной точке.

Задачи

1. Найти точку пересечения двух прямых и .

 

 

а)

, , ,

б)

, , ,

2. Найти прямую, проходящую через точку, заданную вектором и пересекающую прямые и , и найти точки пересечения искомой прямой с двумя данными

а) , , , ,

б) , , , ,

3. Описать все случаи взаимного расположения двух плоскостей

,

в n -мерном пространстве и указать необходимые и достаточные условия для каждого из этих случаев.

4. Доказать, что всякая система точки пространства V_n определяет плоскость размерности .

5. Доказать, что линейное многообразие может быть охарактеризовано как множество векторов, содержащее вместе с любыми двумя векторами и их линейные комбинации при любых α.

6. Найти параметрические уравнения плоскости, заданной общими уравнениями:

7. Найти общие уравнения плоскости, заданной параметрическими уравнениями в координатной форме