Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры. 1. Необходимо найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы две прямые и пространства лежали в одной двумерной плоск




1. Необходимо найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы две прямые и пространства лежали в одной двумерной плоскости.

Предположим вначале, что две данные прямые лежат в одной плоскости с уравнением

где λ1, λ2 — параметры. Тогда при некоторых , , ,

 

а при некоторых , , .

Поэтому вектор принадлежит линейной оболочке векторов и . Далее для произвольной точки 1 прямой найдутся такие λ1 и λ2, что

Значит и . Аналогично . Но всякие три вектора из двумерного подпространства линейно зависимы. Следовательно, необходимым условием принадлежности прямых плоскости является линейная зависимость векторов . Обратно, пусть линейно зависимы. Тогда существуют такие λ1 и λ2, что . Поэтому уравнение второй прямой можно переписать в виде

Очевидно, что теперь оба уравнения содержатся в уравнении плоскости H:

где t и τ параметры, и, следовательно, прямые принадлежат плоскости H.

2. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы две прямые и проходили через одну точку, но не совпадали.

Предположим, что при некоторых значениях параметров для первой прямой и для второй прямые пересекаются. Тогда

Отсюда следует, что векторы линейно зависимы. Данное соотношение далее можно при известных рассматривать как систему линейных уравнений (в координатной форме) на определение t1 и t2. Так как прямые не совпадают, то решение системы

(4.1)

единственно. Значит ранг матрицы системы равен 2 и векторы должны быть линейно независимы. Обратно пусть – линейно независимы, векторы – линейно зависимы. Тогда система (4.1) имеет и причем единственное решение. Следовательно, прямые пересекаются в единственной точке.

Задачи

1. Найти точку пересечения двух прямых и .

 

 

а)

, , ,

б)

, , ,

2. Найти прямую, проходящую через точку, заданную вектором и пересекающую прямые и , и найти точки пересечения искомой прямой с двумя данными

а) , , , ,

б) , , , ,

3. Описать все случаи взаимного расположения двух плоскостей

,

в n-мерном пространстве и указать необходимые и достаточные условия для каждого из этих случаев.

4. Доказать, что всякая система точки пространства Vn определяет плоскость размерности .

5. Доказать, что линейное многообразие может быть охарактеризовано как множество векторов, содержащее вместе с любыми двумя векторами и их линейные комбинации при любых α.

6. Найти параметрические уравнения плоскости, заданной общими уравнениями:

7. Найти общие уравнения плоскости, заданной параметрическими уравнениями в координатной форме







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 1414. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.003 сек.) русская версия | украинская версия