Примеры

1. Рассмотрим векторы пространства R_n, координаты которых удовлетворяют уравнению

,

Покажем, что они образуют линейное подпространство в R_n. Пусть . Тогда

и для координат векторов и выполняются условия 1 и 2:

2. Рассмотрим подмножество симметричных матриц линейного пространства квадратных матриц n -го порядка. Покажем, что они образуют линейное подпространство. Пусть и симметричные матрицы. Матрицы и будут, очевидно, также симметричными, и, следовательно, данное подмножество является линейным подпространством.

Основные свойства линейных подпространств вытекают из следующих утверждений:

Размерность всякого линейного подпространства L пространства X не превосходит размерности самого пространства.

Если в подпространстве L пространства X задан базис , то его можно всегда дополнить векторами из X так, что система образует базис пространства X.

Координаты всякого вектора k -мерному подпространству n -мерного пространства X в любом базисе удовлетворяют некоторой системе линейных однородных уравнений

ранга n-k.

Определение. Пусть M – подмножество векторов пространства X. Совокупность всех линейных комбинаций векторов из М называется линейной оболочной L(M) векторов М.

Всякая линейная оболочка является линейным подпространством. Размерность линейной оболочки L (M), натянутой на векторы множества M, равна числу линейно независимых векторов данного множества.

Определение. Суммой L двух подпространств L ₁ и L ₂ одного и того же пространства X называется множество векторов вида , где и . Обозначается .

Сумма линейных подпространств сама является линейным подпространством.

Определение. Пересечением L линейных подпространств L ₁ и L ₂ называется совокупность векторов, принадлежащих одновременно L ₁ и L ₂. Обозначается .

Пересечение линейных подпространств также является линейным подпространством.

Определение. Прямой суммой L двух подпространств L ₁ и L ₂ называется сумма этих подпространств при условии, что их пересечение состоит лишь из нулевого вектора. Обозначается .

Размерности суммы и пересечения подпространств L ₁ и L ₂ связаны между собой следующим соотношением

Примеры

1. Определим размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующие векторы, заданные своими координатами

, , , ,

Для определения размерности линейной оболочки нужно определить число линейно независимых векторов в исходной системе. Воспользуемся тем, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы вектор-столбцы из их координат. Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг

Ранг матрицы равен трем. Следовательно, . Базис образуют, например, следующие линейно независимые векторы .

2. Найдем систему линейных уравнений, которая задает линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов, заданных своими координатами в некотором базисе

, ,

Для решения задачи удобно найти сначала базис в . Аналогично предыдущей задаче убеждаемся, что базис образуют векторы и , например. Некоторыми векторами и достроим базис и до базиса всего пространства . В новом базисе любой вектор из L будет иметь координаты, удовлетворяющие системе уравнений

Остается перейти теперь к системе уравнений относительно старых координат вектора относительно базиса . Они будут связаны с новыми координатами формулами перехода

, ,

где – матрица перехода от к базису . Подставляя координаты векторов и , получим

Исключая и , окончательно получаем

3. Найти размерности и базисы суммы и пересечения линейных подпространств L ₁ и L ₂, натянутых на векторы, заданные своими координатами:

, ,

, ,

Нетрудно убедиться, что векторы , – базис в L ₁, а векторы , – базис в L ₂. Поэтому всякий вектор из L ₁ , а всякий вектор из L ₂ . Если , то . Таким образом, это линейная оболочка векторов . Аналогично первой задаче устанавливаем, что , а базис, например, . Пусть . Тогда

Остается найти базисный вектор в М. Пусть , тогда и . Значит, существуют такие числа и , что

Получаем для значений и , которые определяют общие для L ₁ и L ₂ векторы, систему уравнений, которая в координатной форме имеет вид

Решая эту систему, получим , , , где - произвольно. Поэтому всякий вектор из М имеет вид

Вектор можно принять за базис в .

Адачи

Доказать, что следующие системы векторов из R_n образуют линейные подпространства и найти их размерность и базис:

1. Все n -мерные векторы, у которых первая и последняя координата равны между собой.

2. Все n -мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю.

3. Все n -мерные векторы вида , где a и b — любые числа.

4. Показать, что всякое линейное пространство есть линейная оболочка любого своего базиса.

5. Показать, что решение системы линейных однородных уравне­ний с n неизвестными ранга K образуют подпространство R_n размерности .

6. Доказать, что если размерность суммы двух линейных подпространств пространства R_n на единицу больше размерности их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение с другим.

7. Доказать, что пространство R_n есть прямая сумма двух линейных подпространств: L ₁ — заданного уравнением и L ₂, заданного системой уравнений .

8. Найти размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующую систему векторов, заданных своими координатами

, , , ,

9. Найти систему линейных уравнений, задающую линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов:

, , ,

Найти размерности суммы и пересечения линейных подпространств: L ₁, натянутого на векторы и L ₂, натянутого на векторы

10.

, , ,

 

 

11.

, , , , ,

Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств, натянутых на системы векторов и

12.

, , , , ,

13.

, , , , ,

14. Линейным многообразием называется совокупность векторов пространства R_n, координаты которых удовлетворяют системе линейных уравнений

Показать, что если к каждому вектору подпространства L пространства X прибавить фиксированный вектор, то получится линейное многообразие.