Ортонормированный базис евклидова и унитарного пространств

Определение. Вектор называется нормированным, если .

Определение. Два вектора и называются ортогональными, если .

Определение. Система векторов евклидова (унитарного) пространства называется ортогональной, если она либо состоит из одного ненулевого вектора, либо ее векторы попарно ортогональны. Ортогональная система, состоящая из нормированных векторов, называется ортонормированной. Для нее

Всякая ортогональная система линейно независима.

Определение. Базис евклидова (унитарного) пространства, векторы которого образуют ортонормированную систему, называется ортонормированным базисом.

Заметьте себе, что, в зависимости от того, как введено скалярное произведение, различные системы векторов могут быть или не быть ортонормированными.

Процедура ортогонализации Грама-Шмидта. Для построения ортонормированной системы векторов и, в частности, ортонормированного базиса может быть использована следующая процедура. Пусть векторы — линейно независимы. Первый вектор ортонормированной системы

Второй вектор

,

Наконец, векторы определяются соотношениями

,

Пример. Необходимо ортогонализировать систему векторов

, ,

Скалярное произведение векторов и определяется как

Для построения первого вектора считаем . Вектор

Для построения второго вектора вычислим вначале . Вектор

и вектор

Для построения третьего вектора вычислим и . Вектор

И вектор

Во всяком ортонормированном базисе унитарного (евклидова) пространства скалярное произведение векторов и с координатами и

Координаты вектора