Евклидовы и унитарные пространства

Определение. Вещественная функция двух векторных аргументов и , заданная на линейном пространстве E, называется скалярным произведением, если выполняются следующие условия:

1.

2. , l – вещ. число

3.

4. ,

Определение. Вещественное линейное пространство E, на котором задано скалярное произведение, называется евклидовым пространством.

Пример. Рассмотрим арифметическое пространство R_n и определим скалярное произведение векторов и соотношением

Прямой подстановкой убеждаемся, что условия 1-4 выполняются. Получим n -мерное евклидово пространство, которое обычно обозначается как E_n.

В случае комплексного линейного пространства скалярное произведение определяется несколько иным образом.

Определение. Комплексная функция двух векторных аргументов и , заданная на комплексном линейном пространстве U, называется скалярным произведением, если выполняются следующие условия:

1.

2. , l — комплексное число

3.

4. ,

Комплексное линейное пространство U, на котором задано скалярное произведение, называется унитарным пространством.

Во всяком унитарном (евклидовом) пространстве имеет место неравенство Коши-Шварца:

с равенством лишь в случае, когда .

Введение скалярного произведения позволяет распространить на линейные пространства различные метрические понятия:

1. Норма (длина) вектора определяется как

Введенная функция удовлетворяет следующим условиям

1. ,

2.

3.

2. Угол φ между векторами и евклидова пространства определяется как угол, изменяющийся в пределах от нуля до π, косинус которого

3. Расстояние между точками аффинного пространства и , связанного с данным евклидовым, определяется как