Поток и дивергенция векторного поля

Введем понятие элементарного потока вектора через площадку dS:

, (13.5)

где . Тогда

d Ф _Е = Е × dS × cosφ, Е × cosφ = Е_n, d Ф _Е = Е_n × dS. (13.6)

Полный поток вектора через данную поверхность S (рис. 13.1)

есть скалярная физичес­кая величина, определяемая формулой

. (13.7)

Рис. 13.1. К понятию потока вектора напряженности поля

полный поток через замкнутую (гауссову) поверхность S

. (13.8)

Аналогично определяется поток магнитного поля.

Выясним смысл понятия потока вектора напряженности Ф_E. Для беско­нечно малой плоской площадки dS, поме­щенной в поле, величина потока зависит, очевидно, от густоты силовых линий в этом месте поля, от величины площадки и от ее ориентации относительно направления поля. Вспомним, что по условиям построения силовых линий поля их густота должна быть пропорциональна напряженности поля. Следовательно, величина пропорциональна числу N силовых линий, проходящих сквозь dS и, очевидно, максимальна при Поэтому для поверхности конечных размеров и произволь­ной формы величина потока (13.8) отражает не полное число силовых линий, а разницу между числом силовых линий, проходящих в положи­тельном и отрицательном направлениях.

Гидродинамическая аналогия: поток вектора скорости несжимаемой жидкости через воображаемую поверхность S пропорционален количеству жидкости, протекающему через эту поверхность в положи­тельном направлении ее нормали за единицу времени. Отсюда и произошло название - "поток". Если поверхность замкнутая, то величина полного потока поля через нее приобретает новый смысл. Сравним картину силовых линий полей, изображенных на рис.13.2. В поле на рис.13.2а силовые линии расходятся из неко­торого центра, лежащего внутри S, поэтому почти всюду и Ф _E > 0, в то время как для поля на рис.13.26,очевидно, Ф _E =0 (за положительное направление для замкнутых поверхностей всегда берут направление внешней нормали). Таким образом, Ф _Е характеризует то, что можно назвать сте­пенью расходимости силовых линий поля в той области, где находится дан­ная замкнутая поверхность. Расходимость отсутствует, если Ф _Е = 0, для сходящихся силовых линий /рис. 13.2в/

 

Рис.13.2. Примеры различных значений потока вектора

 

Точка, из которой выходят силовые линии, как из центра, называется ис­точником (истоком) поля. В электрическом поле источниками служат положительные электри­ческие заряды. Места схождения силовых линий называют отрицательными ис­точниками, или стоками. В электрическом поле стоками служат отрицательные электри­ческие заряды. Названия сток и исток опять-таки взяты из гидроди­намики.

В электромагнитное поле, разумеется, ни­чего не течет, не истекает и не стекает, но гидродинамическая терминология все же при­меняется, как весьма наглядная.