Циркуляция и ротор векторного поля

Циркуляцией векторного поля, например, вдоль какой-либо воображаемой замкнутой кривой L называется ска­лярная физическая величина, определяемая формулой:

(13.15)

Что характеризует циркуляция поля? Рассмотрим картину силовых линий полей на рис. 13.3. Во всех трех случаях источники отсутствуют. Но структура полей явно различна.

Поле на рис.13.3а имеет замкнутые силовые линии и при обходе контура L ка­сательная составляющая поля сохраняет знак.

Рис.13.3. Примеры различных значений циркуляции.

 

Поэтому для поля на рис.13.3б обход контура L дает на двух сторонах квадрата нулевое значение интеграла (13.15),так как там = 0, а на двух других сторонах его численное значение одинаково, но имеет противоположный знак, в результате =О. Поле на рис.13.3в, хотя и не имеет замкнутых линий, но обладает некоторой степенью "закрученности" своих силовых линий и в результате 0.

Гидродинамическая аналогия: в поле скоростей циркуляция определяется характером течения жидкости. Еcли жидкость течет с завихрениями, образует водовороты, воронки и т.п. то 0.

Ограниченность гидродинамической аналогии в применении к электромагнитного полям очевидна: в поле ничто реально не циркулирует и не образует "водоворотов". Вместе с тем, наглядный образ циркуляции, как степени закрученности силовых линий поля, весьма полезен.

 

13.4.1.Теорема о циркуляции вектора

Метод определения полей систем движущихся зарядов или токов основан на введении математической характеристики векторных полей - циркуляции век­тора ( или ).

Элементарная циркуляция вектора вдоль элемента контура : .

циркуляция вектора вдоль контура L (рис. 13.4): .

циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L: ,

где - элемент данного контура ;

- проекция вектора на (рис. 13.4).

 

Рис. 13.4. К понятию циркуляции вектора

 

Выберем контур, совпадающий с силовой линией магнитного поля. Тогда вектор совпадет по направлению с касательной компонентой к контуру .

Нетрудно показать, что если контур не охватывает ток, то цир­куляция вектора равна нулю.

Теорема о циркуляции вектора (закон Ампера – закон полного тока):

Циркуляция вектора вдоль любого замкнутого контура рав­на алгебраической сумме токов, пронизывающих площадку S, огра­ниченную контуром L, умноженной на магнитную постоянную (в системе СИ). (За положительное направление тока принимается направление, связанное с обходом контура по правилу правого винта):

(в наиболее общем случае ).

В дифференциальной форме теорема о циркуляции вектора выражается так:

. (13.17)

Здесь – вихрь (ротор) магнитного поля,

– плотность тока.

Из теоремы о циркуляции в магнитостатике следует, что магнитное поле – вихревое и создается постоянными электрическими токами или движущимися зарядами. Направление закрученности силовых линий магнитного поля определяется направлением вектора (по правилу правого винта) (рис. 13.5).

Рис.13.5. К понятию ротора вектора

Теорема о циркуляции имеет следующий физический смысл:

I. силовые линии магнитного поля замкнуты; магнитное поле

носит вихревой характер (вихревое поле);

2. магнитное поле создается движущимися зарядами (токами);

3.теорема о циркуляции - метод расчета магнитных полей, созда­ваемых различными системами постоянных токов.

13.4.2.Циркуляция и ротор вектора

Для электростатического поля циркуляция и ротор равны нулю:

что подтверждает потенциальный характер этого поля (силовые линии электростатического поля не замкнуты – либо расходятся, либо сходятся).