Производные и дифференциалы высших порядков

1. Частные производные высших порядков

Пусть функция z = f (x, y) задана на области G. Пусть на G существуют частные производные и . Они называются частными производными первого порядка функции f. Эти производные на G являются функциями от x и y: , . Они тоже могут иметь частные производные G. Частные производные этих функций φ; и ψ; называются частными производными второго порядка функции f:

,

,

,

.

Частные производные и взяты по различным переменным, они называются смешанными. Если частные производные второго порядка определены на G, то они сами являются функциями от x и y и могут иметь частные производные по этим переменным. Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка функции f и обозначаются:

(8 штук, 6 смешанных).

Аналогично определяются частные производные и более высоких порядков. Если известны частные производные (n -1)-го порядка, то частные производные от этих частных производных называются частными производными п-го порядка и обозначаются:

Т.о., частные производные высших порядков определяются индуктивно, т.е. последовательно, начиная от первой.

Частные производные и взяты по одним и тем же переменным, но в разном порядке. Они не обязательно равны!

Теорема 1. Пусть функция z = f (x, y) и ее частные производные определены в некоторой окрестности точки (х ₀; у ₀), и в этой точке и непрерывны. Тогда .

Доказательство.

Придадим значениям х ₀ и у ₀ приращения Δ х и Δ у так, чтобы точка (х ₀+Δ х; у ₀+Δ у) находилась в окрестности точки (х ₀; у ₀). Составим выражение

.

Чтобы легче запомнить, как строится выражение, рассмотрим прямоугольник АBСD с вершинами А (х ₀+Δ х; у ₀+Δ у), B (х ₀+Δ х; у ₀), С (х ₀; у ₀), D (х ₀; у ₀+Δ у). Тогда числитель равен алгебраической сумме значений функции f (x, y) в вершинах прямоугольника, причем значение в точке А берется со знаком «+», и при обходе прямоугольника против часовой стрелки знаки перед остальными слагаемыми чередуются.

Введем вспомогательную функцию

.

Здесь числитель равен разности значений функции f (x, y) в точках сторон АD и В С с одинаковыми абсциссами. Тогда ω; можно записать в виде:

=

.

По условию существует , значит, существует и

.

Т.к. функция φ;(х) дифференцируема на отрезке [ x ₀; x ₀+Δ x ], то она непрерывна на этом отрезке. Следовательно, к ней можно применить формулу Лагранжа:

= , где . (1)

Т.к. по условию существует и , то к функции , как к функции от у, на отрезке [ у ₀; у ₀+Δ у ] можно тоже применить формулу Лагранжа:

, (2)

где . Тогда из (1) и (2) следует

, где . (3)

Теперь вместо функции φ;(х) рассмотрим функцию

.

Тогда

=

.

Применим формулу Лагранжа к функции ψ;(у)на отрезке [ у ₀; у ₀+Δ у ]:

,

а затем к функции , как к функции от х, на отрезке [ x ₀; x ₀+Δ x ]:

, где . (4)

Из соотношений (3), (4) следует

. (5)

Пусть . Тогда

,
.

Т.к. по условию и непрерывны в точке (х ₀; у ₀), то

и

.

Тогда, переходя в равенстве (5) к пределу при , получим

.

Замечание. Утверждение, аналогичное теореме 1, может быть доказано и для смешанных производных любого порядка. Т.е. смешанные производные любого порядка при условии их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования, например,

.

Теорема 2. Если смешанные производные n – го порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, непрерывны на области G, то они на этой области равны.

 

2. Дифференциалы высших порядков

I. Пусть z = f (x; y), где х, у – независимые переменные, определена на области G и имеет на этой области непрерывные частные производные. Тогда она дифференцируема, и ее дифференциал равен

, где dx =Δ x, dy =Δ y.

Следовательно, dz – функция четырех переменных: х, у, dx, dy. Зафиксируем dx и dy. Тогда dz = φ;(x; y). Если функция f на G имеет непрерывные частные производные второго порядка, то функция dz = φ;(x; y) на этой области имеет непрерывные частные производные, следовательно, она дифференцируема на G и имеет дифференциал.

Определение. Дифференциалом второго порядка d ² z функции z = f (x; y) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка dz:

d ² z = d (dz).

.

Т.к. , то

. (6)

Символическая запись второго дифференциала: .

Если функция f на G имеет непрерывные частные производные третьего порядка, то функция d ² z = ψ;(x; y) на этой области имеет непрерывные частные производные, следовательно, она имеет дифференциал. Дифференциал от этой функции называется дифференциалом третьего порядка функции z = f (x; y) и обозначается d ³ z. Таким образом,

.

Символическая запись: .

Если функция f на G имеет непрерывные частные производные n -го порядка, то на G существует дифференциал n -го порядка, и он определяется с. о.: dⁿz = d (d^{n- 1} z).

.

II. Дифференциалы высших порядков от сложной функции.

Пусть z = f (x; y) определена на области G, x = φ;(u; v), y = ψ;(u; v) определены на области H, где u, v – независимые переменные, причем "(u; v)Î H . Тогда определена на H. Если функция z = f (x; y) имеет непрерывные частные производные n -го порядка на G, и функции x и y имеют непрерывные частные производные n -го порядка на H, то сложная функция h имеет непрерывные частные производные n -го порядка на H. Тогда существуют дифференциалы 1, 2,…, n -го порядков от сложной функции h (u; v) на H.

( - функции от u и v),

, ,

dz – функция от u и v.

.

Следовательно, . (7)

Вывод. Сравнивая (6) и (7) видим, что дифференциал второго порядка не имеет инвариантной формы. Дифференциалы высших порядков также не обладают свойством инвариантности формы.

Частный случай.

Пусть z = f (x; y) определена на G, , где u, v – независимые переменные, α;₁,…, γ;₂ – числа. Тогда

.

,

.

Значит, dx и dy не зависят от u и v, и поэтому d ² x = d (dx)=0, d ² y = d (dy)=0. Подставляя эти равенства в (7), получим (6).

Т.о., в частном случае, когда x и y – линейные функции, форма второго дифференциала инвариантна. Аналогично, и формы дифференциалов высших порядков в этом случае инвариантны.

 

3. Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция F (t) в некоторой окрестности V (t ₀) имеет производные до (n +1)-го порядка включительно. Тогда справедлива формула Тейлора:

. (8)

Обозначим t-t ₀=Δ t, F (t) -F (t ₀)=Δ F (t ₀),

F' (t ₀)(t-t ₀)= F' (t ₀)Δ t = dF (t ₀),

F'' (t ₀)(t-t ₀)²= F'' (t ₀)(Δ t)²= d ² F (t ₀) и т.д.

Тогда (8) можно записать в виде

, где 0< θ;<1. (9)

В виде (9) формула Тейлора распространяется и на случай функций нескольких переменных.

Теорема. Пусть функция z = f (x; y), где х, у – независимые переменные, определена и имеет непрерывные частные производные до (n +1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки М (х ₀; y ₀) V_δ (х ₀; y ₀). Тогда "Δ х, Δ у, удовлетворяющих условию , имеет место формула Тейлора:

, где 0< θ;<1. (10)

Доказательство.

Зафиксируем Δ х, Δ у: , где .

Тогда ММ ₀Î V_δ (х ₀; y ₀). Параметрические уравнения отрезка ММ ₀:

(11)

Функция на [0;1] становится сложной функцией от переменной t:

f (x; y)= f (х ₀+ t Δ x; y ₀+ t Δ y)= F (t). (12)

По условию f (x; y) имеет непрерывные частные производные до (n +1)-го порядка включительно на V_δ (х ₀; y ₀). Функции х и у, как линейные, имеют непрерывные производные любого порядка. Поэтому F (t) имеет непрерывные производные до (n +1)-го порядка включительно на [0;1]. Тогда для F (t) на [0;1] справедлива формула Тейлора (9).Положим в ней t ₀=1, t ₀+Δ t =1, Δ t =1:

. (13)

Перейдем здесь к f (x; y), используя (12).

Δ F (0)= F (1) -F (0)= f (х ₀+Δ x; y ₀+Δ y) -f (х ₀; y ₀)=Δ f (х ₀; y ₀).

Форма первого дифференциала инвариантна. Тогда, учитывая (11) при вычислении dx и dy, получим

,

т.к. dt =Δ t =1.

Поскольку х = х ₀+ t Δ x, y = y ₀+ t Δ y – линейные функции, то дифференциалы высших порядков от функции F (t)= f (x; y) обладают свойством инвариантности.. Следовательно, для их вычисления мы можем использовать простейшую форму:

.

Аналогично, ,…, ,

.

Подставляя все выражения в (13), получим (10).

Формула Тейлора имеет большое значение при вычислении приращений и значений функции с большой степенью точности.