Дифференцирование сложной функции

R

1. Дифференцирование сложной функции

Пусть функция z = f (x;y) определена в области G Ì , а х и у сами являются функциями от переменной t: х = φ;(t), у = ψ;(t). Пусть t изменяется в промежутке так, что (х; у)=(φ;(t); ψ;(t))Î G. В этом случае функция

z = f (φ;(t); ψ;(t))= F (t) (1)

является сложной функцией одной переменной t.

Теорема 1. Если существуют производные , в точке t и существуют непрерывные частные производные , в соответствующей точке (х; у)=(φ;(t); ψ;(t)), то существует производная от сложной функции (1), и она может быть вычислена по формуле:

. (2)

Доказательство.

Придадим переменной t приращение тогда x и y получат соответствующие приращения и , а функция z = f (x; у) получит приращение . Так как z = f (x; у) в точке (x;y) имеет непрерывные частные производные, то по теореме 3 §4 она дифференцируема в этой точке. Следовательно, ее полное приращение может быть записано в следующем виде:

= , где , .

Разделим равенство на :

. (3)

Пусть . Так как функции х = φ;(t) и у = ψ;(t) дифференцируемы в точке t, то они непрерывны в этой точке. Тогда при . Значит, и , при . Т.к. функции x и у по условию имеют производные и в точке t, то

, .

Это означает, что правая часть (3) имеет предел при :

.

Тогда существует предел и левой части (3) при : .

Переходя в (3) к пределу при , получим (2).

Частный случай: , то есть . Тогда

.

R

Пример 1. z (x, y)= , x =e , y =ln(1 -t). Найти .

D z определена на , . z является функцией от t:

(*) z (t)= , .

Вычислим по формуле (2).

.

Но можно найти и непосредственно из (*). D

Эффективность дифференцирования по формуле (2) проявляется в более сложных примерах.

Пример2. .

D .

Непосредственно отсюда вычислить сложно.

…

(подставить вместо х и у выражения через t). D

Пример 3. .

D Пусть , тогда z = f (x, y), х = φ;(t), у = ψ;(t),

. D

Пусть теперь функция z = f (x, y) задана в некоторой области G а x и y являются функциями от переменных u и v: . Причём u и v определены в такой области Н, что "(u, v) Н точка (х, у)= Î G. Тогда z является сложной функцией от переменных u и v:

. (4)

Теорема 2. Если существуют частные производные на H и непрерывные частные производные на области G, то существуют частные производные от сложной функции (4) на H, которые могут быть вычислены по формулам:

(5)

. (6)

 

Доказательство.

Пусть (u, v) Н. Зафиксируем v. Тогда (4) обращается в сложную функцию одной переменной u вида (1), к которой можно применить теорему 1. На основании этой теоремы

.

Аналогично, фиксируя u, получим сложную функцию одной переменной v: к которой можно применить теорему 1, получим (6).

Пример 4. Найти частные производные сложной функции .

D Обозначим - промежуточные переменные, x, y, z – независимые переменные.

,

,

. D

 

2. Инвариантность формы дифференциала

I. Пусть z = f (x, y), где x, y – независимые переменные, определена в области G. Пусть на G функция f имеет непрерывные частные производные. Тогда она дифференцируема и её дифференциал

, (1)

где , т.е. dx, dy – произвольные числа не зависящие от x и y.

II. Пусть теперь z является сложной функцией от переменных u и v, т.е. z = f (x, y), , . Независимые переменные u и v определены в области Н так, что . Тогда . Пусть на Н существуют непрерывные частные производные и на G - непрерывные частные производные и тогда существуют непрерывные частные производные и от сложной функции z = h (u, v):

, (2)

. (3)

Тогда сложная функция z = h (u, v) дифференцируема и её дифференциал

, (4)

du, dv – произвольные числа.

Подставляя (2) и (3) в (4), получим

.

Итак, , (5)

dx – дифференциал функции , ,

dy - дифференциал функции , .

Сравнив (1) и (5), можем сделать вывод. Дифференциал функции f имеет одну и ту же форму относительно x и y: , как в случае, когда x и y - независимые переменные, так и в случае, когда x и y – функции от других переменных. Это свойство называется инвариантностью формы полного дифференциала. Хотя форма (1) инвариантна (т.е. неизменна), но смысл символов dx и dy не один и тот же. Если x и y - независимые переменные, то dx и dy – числа, не зависящие от x, y. Если же x и y – функции, то dx и dy – дифференциалы этих функций.

Итак, так как форма (1) инвариантна, то полный дифференциал функции всегда может быть записан в виде (1).

Замечание. Если x и y – независимые переменные, то существуют две формы записи дифференциала: . Если x и y функции, то .