Экстремум функции нескольких переменных

1. Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия

Пусть функция z = f (x; y) задана в некоторой окрестности точки M ₀(x ₀; y ₀) V (M ₀).

Определение 1. Функция z = f (x; y) имеет в точке M ₀(x ₀; y ₀) строгий максимум (строгий минимум), если , такая, что выполнено неравенство f (x; y)< f (х ₀; y ₀) (f (x; y)> f (х ₀; y ₀)).

Определение 2. Функция z = f (x; y) имеет в точке M ₀(x ₀; y ₀) максимум (минимум), если , такая, что выполнено неравенство f (x; y)£ f (х ₀; y ₀) (f (x; y)³ f (х ₀; y ₀)).

Определение 3. Функция z = f (x; y) имеет в точке M ₀(x ₀; y ₀)(строгий) экстремум, если она имеет в этой точке (строгий) максимум или (строгий) минимум.

Точку М ₀ называют точкой (строгого) экстремума, а значение функции в ней, т.е. f (M ₀) – (строгим) экстремумом.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Пусть функция z = f (x; y) достигает экстремума в точке M ₀(x ₀; y ₀). Если в этой точке существуют частные производные и , то они в этой точке равны нулю, то есть =0 и =0.

Доказательство.

Пусть z = f (x; y) имеет в точке M ₀(x ₀; y ₀) максимум. Тогда , такая, что выполнено

f (x; y)£ f (х ₀; y ₀). (1)

Рассмотрим точки окрестности V_d (M ₀), для которых y=y ₀. На этом множестве точек, т.е. на , функция f (x; y) превращается в функцию f (x; y ₀) одной переменной х. Из (1) следует, что f (x; y ₀)£ f (х ₀; y ₀) . Это означает, что функция одной переменной f (x; y ₀)имеет в точке х ₀ максимум. По условию . Она совпадает с в точке х ₀, т.е = .На основании необходимого условия экстремума функции одной переменной =0. Следовательно, =0.

Аналогично, рассмотрим точки окрестности V_d (M ₀), для которых х=х ₀. На этом множестве точек, функция f (x; y) становится функцией f (x ₀; y) одной переменной у. Из (1) следует, что f (x ₀; y)£ f (х ₀; y ₀) . Значит, функция одной переменной f (x ₀; y)имеет в точке у ₀ максимум.По необходимому условию экстремума функции одной переменной =0. Следовательно, =0.

Замечание. Если функция z = f (x; y) дифференцируема в точке (х ₀; y ₀), то условие равносильно условию df (х ₀; y ₀)=0.

Следствие. Если функция z = f (x; y) имеет экстремум в точке (х ₀; y ₀) и дифференцируема этой точке, то df (х ₀; y ₀)=0.

Определение 3. Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками функции z = f (x; y).

Определение 4. Точки, в которых частные производные равны нулю (или не существуют) называются критическими точками функции z = f (x; y).

Из теоремы 1 и определения 3 следует, что если функция дифференцируема, то точки экстремума являются стационарными точками. Обратное неверно. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пример. D Рассмотрим функцию z=f (x; y)= x ² -y ², f (0;0)=0.

, Þ (0;0) – стационарная точка.

Рассмотрим . На оси О х f (x;0)= x ²>0, на оси О у f (0; y)= -y ²<0. Следовательно, в любой окрестности есть значения функции, как большие f (0;0)=0, так и меньшие f (0;0)=0. Значит, точка (0;0) не может быть точкой экстремума. D

Теорема 2 (достаточное условие экстремума).

Пусть функция z = f (x; y) определена иимеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М ₀(x ₀; y ₀) V (x ₀; y ₀). Пусть М ₀(x ₀; y ₀) - стационарная точка, то есть и . Обозначим

.

Тогда

1) если то z = f (x; y) имеет в точке М ₀(x ₀; y ₀) экстремум, причем при A <0 (C <0)- локальный максимум, при A >0 (C >0) - локальный минимум;

2) если , то точка М ₀(x ₀; y ₀) не является точкой экстремума;

3) если , то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя, требуются дополнительные исследования.

Доказательство.

Т.к. по условию функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то можем записать для нее формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, ограничиваясь двумя членами:

(0< q <1).

Т.к. М ₀(x ₀; y ₀) - стационарная точка, то df (x ₀; y ₀)=0, следовательно,

,

где D х = х-х ₀, D у = y-y ₀.

Положим

, где ,

, где ,

, где .

Т.к. частные производные второго порядка непрерывны, то . Полное приращение функции запишется в виде:

.

Положим , где .

Тогда

.(2)

1) Пусть .

В этом случае АС >0, следовательно, А ¹0, и первый трехчлен в скобках в формуле (2) можно записать следующим образом:

. (3)

Очевидно, что при выражение в квадратных скобках положительно. Следовательно, первый трехчлен формулы (2) сохраняет знак коэффициента А. Модуль этого трехчлена – непрерывная на [0;2 p ] функция от j и, значит, достигает на [0;2 p ] своего наименьшего значения m:

.

Теперь рассмотрим второй трехчлен в (2). Если выбрать r достаточно малым (а, значит, и D х, D у малы), то, поскольку a, b, g ®0 при D х,D у ®0, будем иметь

.

Но тогда все выражение в скобках в (2) будет сохранять тот же знак, что и первый трехчлен, то есть знак коэффициента А.

Итак, если A >0, то и D f (x ₀; y ₀)>0. Следовательно, f (x; y)> f (x ₀; y ₀). Т.е. в точке (x ₀; y ₀) функция имеет строгий минимум. А если A <0, то и D f (x ₀; y ₀)<0. Следовательно, f (x; y)< f (x ₀; y ₀). Значит, в точке (x ₀; y ₀) функция имеет строгий максимум.

2) Предположим теперь, что .

а) Пусть А ¹0. Тогда можно использовать преобразование (3).

Если j = j ₁=0, то из (3) следует, что выражение в квадратных скобках равно .

Если j = j ₂ определить так, что A cos j ₂+ B sin j ₂=0 (ясно, что при этом sin j ₂¹0, т. к. иначе будет А =0), то выражение в квадратных скобках равно .

Если r достаточно мало, то второй трехчлен в скобках в (2) будет сколь угодно мал. Следовательно, знак D f определяется знаком первого трехчлена.

Из (3) следует:

при A >0 и j = j ₁ он положителен,

j = j ₂ он отрицателен,

при A <0 и j = j ₁ он отрицателен,

j = j ₂ он положителен.

Итак, в любой окрестности точки (х ₀; y ₀) D f будет иметь значения противоположных знаков на лучах j = j ₁ и j = j ₂. Следовательно, точка (х ₀; y ₀) не может быть точкой экстремума.

б) Пусть А =0. Тогда первый трехчлен в (2) равен

.

Если А =0, то из условия следует, что В ¹0. Тогда можно взять угол j настолько малым, чтобы выражение 2 B cos j + C sin j было близко к 2 В и, значит, сохраняло знак. Тогда при j = j ₁ и j =- j ₁ первый трехчлен в (2) будет иметь противоположные знаки. Следовательно, и в этом случае точка (х ₀; y ₀) не может быть точкой экстремума.

Теорема 2 равносильна следующей теореме.

Теорема 3. Пусть df (х ₀; y ₀)=0. Если d ² f (х; y) сохраняет знак в некоторой достаточно малой окрестности точки (х ₀; y ₀), то в этой точке функция имеет строгий экстремум, причем, если d ² f (х ₀; y ₀)<0, то строгий максимум, а если d ² f (х ₀; y ₀)>0, то строгий минимум.

В таком виде достаточное условие экстремума переносится на случай функций любого числа переменных.

Пример. Исследовать функцию f (x; y)= xy (a-x-y), a >0 на экстремум.

R

D .

Найдем стационарные точки.

f¢_x = y (a-x-y) -xy = y (a- 2 x-y), f¢_y = x (a-x-y) -xy = x (a-x- 2 y)

Стационарные точки: О (0;0), М (а;0), N (0;a), .

Проверим, являются ли они точками экстремума.

, , .

О (0;0): А =0, В=а, С =0, АС-В ²=0 -а ²<0 Þ экстремума нет;

М (а;0): А =0, В=-а, С = - 2 а, АС-В ²=0 -а ²<0 Þ экстремума нет;

N (0; a): А =-2 a, В=-а, С =0, АС-В ²=0 -а ²<0 Þ экстремума нет;

: , , ,

Þ К – точка экстремума, т.к. A <0, то - точка максимума. D

 

2. Экстремум неявно заданной функции

R

Пусть уравнение F (x; y; z)=0задает неявно функцию z = f (x; y). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в . Если (х ₀; у ₀) – стационарная точка, то в ней выполнены равенства:

, ,

, .

Очевидно, верно и обратное утверждение. Следовательно, стационарные точки неявной функции могут быть найдены из системы:

Достаточное условие формулируется так же, как в случае явного задания функции.

 

3. Нахождение наибольших и наименьших значений

Пусть функция z = f (x; y) определена и дифференцируема на ограниченной замкнутой области G. Тогда она на имеет наибольшее и наименьшее значения. Если наибольшее (наименьшее) значение функция f принимает во внутренней точке области, то эта точка является точкой максимума (минимума). Т.о., ²подозрительными² точками внутри области являются стационарные точки. Но функция f может принимать наибольшее (наименьшее) значения и на границе области G.

План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

1. Найти стационарные точки внутри области и значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения на границе области и значения функции в них. Для этого границу области следует задать либо одним уравнением, либо параметрически. Тогда на границе исходная функция будет функцией одного переменного.

3. Если в области существуют точки, в которых функция не дифференцируема, то надо вычислить в них значения функции.

4. Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f (x; y)=2 x ² - 2 y ² в круге х ²+ у ²£9.

D 1) , Þ (0;0) – стационарная точка.

z ₁= f (0;0)=0.

2) Граница области задана уравнением х ²+ у ²=9. Отсюда у ²=9- х ². Тогда на границе получаем функцию одной переменной: z= 2 x ² - 2(9- х ²), z =4 х ²-18, x Î[-3;3].

z ¢=8 x, z ¢=0 при х =0. Тогда у =±3. Значения функции в стационарных точках границы: z ₂= f (0;3)=-18, z ₃= f (0;-3)=-18.

Значения функции на концах отрезка [-3;3]: z ₄= f (3;0)=18, z ₅= f (-3;0)=18.

3) z_наиб. = f (3;0)= f (-3;0)=18, z_наим. = f (0;3)= f (0;-3)=-18. D