Примеры.

R

1) x- 6 y +12=0, где ,

R

F (x; y)= x- 6 y +12. Разрешим уравнение относительно х: - однозначная функция от х.

R

2)

F (x; y)= . Данное уравнение представляет двузначную функцию .

R

Если уравнение рассматривать на , то оно определяет однозначную функцию .

3) не определяет функции y = f (x).

Из примеров видно, что уравнение F (x; y)=0 не всегда определяет функцию y = f (x) (кроме того, далеко не всегда уравнение (1) можно разрешить относительно y). Поэтому необходимо знать условия существования неявной функции.

Теорема 1. (достаточные условия существования и дифференцируемости неявной функции). Пусть дано уравнение F (x; y)=0 (1), и выполнены условия:

1) функция F (x; y) и ее частные производные определены и непрерывны в некотором прямоугольнике [ x ₀ -a, x ₀+ a; y ₀ -b, y ₀+ b ];

2) ;

3) .

Тогда справедливы следующие утверждения:

а) в некотором прямоугольнике (x ₀ -d, x ₀+ d; y ₀ -d¢;, y ₀+ d¢;) уравнение (1) определяет неявную функцию y = f (x);

б) f (x ₀)= y ₀;

в) функция y = f (x) непрерывна в промежутке [ x ₀ -d; x ₀+ d ];

г) функция y = f (x) в промежутке [ x ₀ -d; x ₀+ d ] имеет непрерывную производную, причем .

Доказательство.

а) (существование неявной функции y = f (x))

Согласно условию (3) . Предположим для определенности, что . Т. к. согласно условию (1) непрерывна, то в некоторой окрестности точки М ₀(x ₀; y ₀) выполнено неравенство

>0. (2)

Пусть этой окрестностью является квадрат со сторонами 2 d¢; и центром в точке (x ₀; y ₀):[ x ₀ -d¢;, x ₀+ d¢;; y ₀ -d¢;, y ₀+ d¢;].

Будем передвигаться по вертикали А ₀ В ₀, проходящей через точку М ₀, т. е. фиксируем х=х ₀. Тогда рассматриваемая функция F (x; y) является функцией одной переменной у: F (x ₀; y), у Î[ y ₀ -d¢;, y ₀+ d¢;]. В силу условия (2) эта функция возрастает. Т. к. при у = у ₀ (по условию 2) теоремы), то на концах отрезка [ y ₀ -d¢;, y ₀+ d¢;] она принимает значения разных знаков. Учитывая возрастание функции, получим:

y ₀ -d¢;< y ₀ Þ F (x ₀; y ₀ -d¢;)< F (x ₀; y ₀)=0,

y ₀ +d¢;> y ₀ Þ F (x ₀; y ₀ +d¢;)> F (x ₀; y ₀)=0.

Итак, F (x ₀; y ₀ -d¢;)<0, (3)

F (x ₀; y ₀ +d¢;)>0. (4)

Теперь будем двигаться по горизонтали, проходящей через точку А ₀, т. е. фиксируем у = y ₀ -d¢;. Получим функцию одной переменной х: F (x; y ₀ -d¢;). Согласно (3) при х=х ₀ эта функция принимает отрицательное значение. Т. к. по условию 1) теоремы функция F (x; y) непрерывна по совокупности переменных, то она непрерывна и по переменной х. Следовательно, в некоторой достаточно малой окрестности точки х ₀ выполнено F (x; y ₀ -d¢;)<0.

Аналогично, будем передвигаться по горизонтали, проходящей через точку В ₀, т. е. фиксируем у = y ₀ +d¢;. Т.к. F (x ₀; y ₀ +d¢;)>0 (по (4)), и функция F (x; y ₀ +d¢;) непрерывна, то , такое, что в окрестности выполнено F (x; y ₀ +d¢;)>0. Положим . Тогда для х: x ₀ -d < x < x ₀+ d имеем

F (x; y ₀ -d¢;)<0, F (x; y ₀ +d¢;)>0. (5)

Т. о., мы установили, что функция F (x; y) принимает отрицательные значения на горизонтали А ₁ А ₂ и положительные – на горизонтали В ₁ В ₂.

Зафиксируем теперь произвольное , и будем изменять у от у ₀ -d¢; до у ₀ +d¢;, т. е. будем двигаться по АВ. При этом получаем функцию одной переменной у: , которая непрерывна. Т. к. на концах отрезка [ у ₀ -d¢;; у ₀ +d¢;] она принимает значения разных знаков, то существует значение . Т. к. согласно (2) функция монотонно возрастает, то такое значение существует только одно. Т.о., доказано, что существует единственное значение , которое вместе с х удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, в прямоугольнике (x ₀ -d, x ₀+ d; y ₀ -d¢;, y ₀+ d¢;) уравнение (1) определяет у как неявную функцию от х. Обозначим ее y = f (x).

б) По условию 2) . Т. е. у ₀ – это то значение у, при котором . Согласно доказанному в п. а) оно единственно и, следовательно, является значением неявной функции y = f (x) в точке х ₀: у ₀= f (x ₀).

в) (непрерывность неявной функции y = f (x))

Докажем непрерывность функции y = f (x) в точке х ₀. Зафиксируем . Тогда, рассуждая, как и в пункте а), для этого e найдем соответствующее ему единственное значение y = f (x), которое вместе с этим х удовлетворяет условию (1), окажется между и . То есть выполнено . По определению это означает, что функция y = f (x) непрерывна в точке х ₀.

Пусть теперь - произвольная точка из [ x ₀ -d; x ₀+ d ]. Точка , где , удовлетворяет тем же условиям, что и точка М ₀(x ₀; y ₀), т. к. . Поэтому, как и выше, в некоторой окрестности точки уравнение (1) определяет у как однозначную функцию от х, непрерывную в точке . Но именно ввиду однозначности эта функция совпадает с f (x). Следовательно, функция y = f (x) непрерывна в точке . Т. к. выбиралась произвольно из [ x ₀ -d; x ₀+ d ], то функция y = f (x) непрерывна на [ x ₀ -d; x ₀+ d ].

г) (существование непрерывной производной функции y = f (x))

Придадим значению х приращение D х, неявная функция получит приращение D у. Т.к. F (x; y)=0 и F (x +D х; y +D у)=0, то и

D F = F (x +D х; y +D у)- F (x; y)=0. (6)

Преобразуем D F:

, где . (7)

Здесь применили формулу Лагранжа к функции F (x; y +D у) на отрезке [ x; x +D х ] и к функции F (x; y) на отрезке [ у; у +D у ]. Из (6), (7) следует

.

Отсюда . (8)

Пусть D х ®0. Т. к. y = f (x) непрерывная функция, то D у ®0. Т. к. , , , и , - непрерывные функции, то , .

Следовательно, правой части равенства (8), равный . Значит, . Переходя в (8) к пределу, получим

. (9)

Мы доказали существование производной неявной функции и способ ее вычисления. Докажем непрерывность. Она следует из (9). По доказанному у = f (x) – непрерывная функция, по условию - непрерывные функции от х и у. Следовательно, сложные функции от х и непрерывны. В силу условия 3) знаменатель в (9) не равен нулю. Из всего сказанного следует, что - непрерывная функция.

Замечание 1. Формулу (9) можно получить следующим образом. Продифференцируем равенство F (x;f (x))º0 по x (F – сложная функция от x):

,

Þ (9)

Замечание 2. В уравнении (1) F (x;y)=0 переменные x и y равноправны. Следовательно, можно ставить вопрос о существовании функции . В этом случае в теореме (1) надо изменить условие 3) – требовать, чтобы . Но если одновременно , то нельзя утверждать, что уравнение (1) определяет какую-либо неявную функцию.

Пример 1. Вычислить производные первого и второго порядка функции, заданной неявно уравнением (x >0).

D .

1 способ вычисления - по формуле (9).

.

2 способ вычисления . Продифференцируем данное уравнение, учитывая, что оно определяет функцию у = у (х).

(*) , .

Найдем , учитывая, что у = у (х), а х – независимая переменная:

.

Далее надо преобразовать и подставить .

Второй способ вычисления - продифференцировать равенство (*).D

2. Уравнения касательной и нормали к кривой

Пусть дано уравнение (1) F (x;y)=0, и для функции F (x;y) в окрестности точки (х ₀; y ₀) выполнены условия теоремы 1. Тогда в окрестности точки х ₀ V (х ₀) уравнение (1) задает функцию у = f (х), определенную, непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки х ₀ и f (х ₀)= y ₀. Графиком этой функции является некоторая кривая. Так как существует , то существует касательная и нормаль к кривой (1).

Для функции y = f (x) уравнение касательной точке х ₀ имеет вид:

, (10)

нормали: . (11)

Из теоремы 1 следует . (12)

Подставляя (12) в (10), (11), получим Þ

– уравнение касательной;

или

– уравнение нормали.

3. Неявные функции нескольких переменных

Пусть дано уравнение . (13)

R

- функция (n +1)-й переменной. Если в каждой точке существует единственное значение y, которое совместно с x удовлетворяет уравнению (13), то уравнение (13) на множестве G определяет функцию n переменных , (14)

и имеет место тождество на G.

Теорема 2 (достаточное условие существования и дифференцируемости неявной функции n переменных). Пусть функция F и ее частные производные непрерывны в некоторой окрестности точки , и пусть , а . Тогда уравнение (13) определяет функцию определенную, непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки , причем , а частные производные находятся по формулам:

R

.

Рассмотрим частный случай. Пусть на дано уравнение

F (x; y; z)=0. (15)

R

Пусть это уравнение определяет неявную функцию z = f (x; y), дифференцируемую на , т.е. справедливо тождество (16) F (x; y; f (x; y)) 0. Правая часть (16) – сложная функция от х и у. в силу условий теоремы (2) (существуют непрерывные ) эта функция дифференцируема на D. Дифференцируя (16) по x, получим:

.

Отсюда . (17)

Дифференцируя (16) по y, получим:

.

Отсюда . (18)

Пример 2. Пусть уравнение определяет функцию z = f (x; y). Найти

D .

По формулам (17), (18):

,

,

.

Подставляя сюда выражение для и заменяя z на f (x; y), найдем .

Тогда . D

 

4. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Пусть уравнение (15) F (x; y; z)=0 определяет поверхность. Тогда (15) называется уравнением поверхности.

Пусть в окрестности (x ₀; y ₀; z ₀) выполняется условия теоремы 2. Тогда в окрестности точки (x ₀; y ₀) определена функция z = f (x; y), дифференцируемая в этой окрестности. Тогда поверхность z = f (x; y) имеет касательную плоскость и нормаль в точке (x ₀; y ₀).

– уравнение касательной плоскости,

– уравнение нормали.

Так как , то

–

уравнение касательной плоскости,

– уравнение нормали.

Неявные функции могут определяться системой функциональных уравнений.