Предел и непрерывность функции двух переменных

 

1. Понятие предела функции двух переменных

Пусть функция z = f (x, y) определена на множестве G Í Rⁿ. Пусть М ₀(х ₀, у ₀) – предельная точка множества G.

Определение 1 (по Коши). Число А называется пределом функции f (x, y) в точке М ₀(х ₀, у ₀), если " e >0 $ d = d (e)>0: " M (x, y)Î G: 0< r (M ₀, M)< d выполнено неравенство | f (x, y) -A |< e.

Обозначается или .

Напомним, что в R² .

N

Определение 2 (по Гейне). Число А называется пределом функции f (x, y) в точке М ₀(х ₀, у ₀), если для произвольной последовательности точек { M_n (x_n, y_n)}, M_n Î G, M_n ¹ M ₀ " n Î , таких что выполнено .

Равносильность этих определений доказывается аналогично случаю функции одной действительной переменной.

Аналогично вводится понятие предела функции n действительных переменных.

Для предела функции n переменных справедливы все свойства предела функции одной переменной.

Пример 1. Вычислить .

D Т. к. функции 3 ху и х ² у являются бесконечно малыми при х ®1, у ®0, то tg3 xy ~3 xy, sin x ² y ~ x ² y. Тогда

.

R

Пример 2. Доказать, что функция не имеет предела в точке О(0;0).

D . Т.о., (0;0) – предельная точка D (f). Покажем, что не существует.

1 способ. Пусть М (х; у)®О(0;0) по прямой у = kx, проходящей через точку О. Тогда

.

Т.о., приближаясь к точке О(0;0) по различным прямым, соответствующим различным значениям k, получаем, что функция стремится к различным значениям. Например, при k =0, т.е. приближаясь к точке О(0;0) по оси О х =0; при k =1, т.е. приближаясь к О(0;0) по прямой у=х и т.д. Следовательно, не существует.

2 способ. Рассмотрим две различные последовательности точек, стремящиеся к О(0;0).

Первая последовательность по положительной части оси О х. Тогда .

Вторая последовательность по направлению биссектрисы первого координатного угла (по прямой у=х). Тогда

.

Т.о., двум различным последовательностям точек, стремящимся к О(0;0) по разным направлениям, соответствуют две последовательности значений функции, имеющие разные пределы. Согласно определению предела функции по Гейне это означает, что функция не имеет предела в точке (0;0).D

Пример 3. Найти .

D Перейдем к полярным координатам с центром в точке О(0;0):

,

т.к. функция - бесконечно малаяпри r ®¥, а функция (cos j +sin j) ограничена.D

 

2. Повторные пределы

Для функций нескольких переменных наряду с обычным понятием предела функции (при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам) вводится понятие повторного предела, получаемого в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. (Обычный предел функции n переменных называется n -кратным: двойным, тройным и т.д.)

Рассмотрим случай функции двух переменных. Пусть функция определена в области G. Пусть область G такова, что х может принимать (независимо от у) любые значения в некотором множестве Х, для которого х ₀ – предельная точка, а переменная у (независимо от х) изменяется на множестве Y. Тогда G можно символически обозначить G = X ´ Y. При фиксированном значении переменной у функция f (x; y) становится функцией одной переменной х. Если при фиксированном y Î Y существует , то, вообще говоря, этот предел зависит от наперед зафиксированного у: . Теперь можно рассматривать . Пусть он существует и равен А: = А. Тогда говорят, что в точке (х ₀; у ₀) существует повторный предел функции f (x; y)

. (1)

При этом называется внутренним пределом в повторном пределе (1).

Другой повторный предел

(2)

получится, если предельные переходы произвести в обратном порядке. В (2) внутренний предел - .

Повторные пределы (1) и (2) вовсе не обязательно равны.

Пример 4. Вычислить повторные пределы функции в точке О(0;0).

D О(0;0)Ï D (f), является предельной точкой D (f).

,

. D

Может случиться, что один из повторных пределов существует, а другой – нет.

Пример 5. Вычислить повторные пределы функции в О(0;0).

D - не существует,

. D

Всякая перестановка двух предельных переходов по разным переменным должна быть обоснована. Одно из таких обоснований дает следующая теорема. Она также устанавливает связь между двойными и повторными пределами. Вообще говоря, из существования двойного предела не следует существование повторных пределов, и из существования повторных не следует существование двойного.

Теорема. Пусть в точке (х ₀; у ₀) существует (конечный или бесконечный) двойной предел , а также " y Î Y существует внутренний предел . Тогда существует повторный предел . Аналогично, если $ , и " х Î Х существует внутренний предел , то существует повторный предел = А.

Если $ и оба внутренних предела, то существуют и оба повторных предела, и .

Замечание. Обратное утверждение неверно. Если существуют и равны оба повторных предела, то двойной не обязательно существует.

Пример 6. .

D ,

,

,

но не существует (см. пример 2). D

 

3. Непрерывность функции n переменных

Определение 1. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M ₀(x ₀; y ₀), если она определена в некоторой окрестности этой точки, и предел функции равен значению функции в этой точке:

. (1)

Аналогично определяется непрерывность в точке функции n переменных.

Обозначим х = х ₀+D х, у = у ₀+D у. Тогда (1) можно переписать с. о.:

или .

Величина называется полным приращением функции z = f (x, y) в точке (x ₀; y ₀). Т. о., получаем эквивалентное определение непрерывности функции в точке.

Определение 2. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M ₀(x ₀; y ₀), если бесконечно малым приращениям аргументов х и у соответствует бесконечно малое полное приращение функции: .

Если переменную у ₀ оставить постоянной, а переменной х ₀ придать некоторое приращение D х, то функция z = f (x, y) получит приращение , которое называется частным приращением функции z в точке (х ₀, у ₀) по переменной х. Аналогично, если переменная х ₀ остается постоянной, а у ₀ получает приращение D у, то - частное приращение функции z в точке (х ₀, у ₀) по переменной у.

Для функций нескольких переменных вводится понятие непрерывности по каждой из независимых переменных.

Определение. Частным приращением функции u = f (x ₁, x ₂,… x_n) в точке по переменной x_j называется величина

.

Определение. Функция u = f (x ₁, x ₂,…, x_n) называется непрерывной в точке М ₀ по переменной x_j , если

.

Пример 7. Доказать, что функция

непрерывна в точке О(0;0) по каждой переменной х и у, но не является непрерывной по совокупности переменных.

D Частное приращение функции по переменной х в точке О(0;0):

.

Следовательно, функция непрерывна в т. О(0;0) по переменной х.

Частное приращение функции по переменной у в точке О(0;0):

.

Следовательно, функция непрерывна в т. О(0;0) по переменной у.

Но функция не является непрерывной в т.О(0;0) по совокупности переменных, т.к. предел функции в этой точке не существует (см. пример 2 из п.2). D

Определение. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение. Точка M ₀(x ₀; y ₀), в которой не выполняется условие непрерывности, называется точкой разрыва функции z = f (x; y).

Это может быть, например, в следующих случаях:

1. z = f (x; y) определена во всех точках некоторой окрестности точки М ₀, кроме самой точки М ₀;

2. функция определена во всех точках V (М ₀), но не существует;

3. функция определена во всех точках V (М ₀), и существует , но .

Пример 2. Найти точки разрыва функции .

D Функция может иметь разрыв лишь в точках, где =0 Û

Итак, данная функция имеет разрыв на прямых у = х, у = -х, х =2. D