1. Производная по направлению
Рассмотрим функцию трех переменных u = f (x, y, z), определенную на множестве G. Пусть точка
. Через точку М 0 проведём прямую l. Выберем произвольно на l точку М 1 и установим таким образом направление
. Тогда l – прямая с выбранным направлением.
Пусть М (x, y, z) – переменная точка на прямой l. Через М 0 М обозначим ориентированную длину отрезка М 0 М, т.е. М 0 М =| М 0 М |, если направление отрезка совпадает с направлением l (точки М и М 1 лежат по одну сторону от точки М 0) и М 0 М =-| М 0 М |, если направление отрезка не совпадает с направлением l. Полное приращение функции:
.
Определение. Если существует конечный предел
,
то он называется производной функции f в точке М 0 по направлению l.
Обозначается
.
Замечание. Производная
функции f (x) в точке х 0- это скорость изменения функции в точке х 0. Частная производная
- скорость изменения функции в точке М 0 по направлению оси О х; частная производная
- скорость при функции в точке М 0 по направлению оси О у, а
- по направлению оси O z. Тогда
- скорость изменения функции в точке М 0 по направлению l. Если направление l совпадает с положительным направлением оси О х, то
=
. Аналогично для
. Т.е. частные производные функции – это производные по направлению координатных осей.
Теорема (достаточное условие существования производной по направлению l). Если u = f (x, y, z) дифференцируема в точке М 0, то в этой точке существует производная по направлению, исходящему из точки М 0, и
, (1)
где
- направляющие косинусы направления l (координаты единичного вектора в этом направлении).
Доказательство.
Проведём через точку М 0
прямую l возьмём на ней точку М
,
- ориентированная длина.
.
По условию функция
f дифференцируема в точке
М 0. Следовательно, её полное приращение можно записать в виде
, (2)
где
при
. Разделим (2) на
:
. (3)
Пусть М ® М 0. Тогда
. Тогда
(проекции
на оси координат) стремятся к 0. Следовательно,
. Значит, правая часть равенства (3) при
стремится к
. Это означает, что существует и
левой части:
. Переходя в (3) к
, получим (1). 
Пример.
. Найти производную в точке М 0(1,-2,3) в направлении вектора, соединяющего точки А (1;2;3) и В (3;3;1).
(2,1,-2),
,
.
,
,
,
,
,
,
. 
2. Градиент
Пусть функция u = f (x, y, z) определена и дифференцируема на множестве G.
Определение. Градиентом функции u = f (x, y, z) в точке М 0 называется вектор с координатами
.
Обозначается
или
.
Итак,
.
Если функция f дифференцируема на G, то в каждой точке М
G определён вектор
. В этом случае говорят, что градиент функции f образует векторное поле на G, и оно называется векторным полем градиентов.
Теорема. Если функция u = f (x, y, z) дифференцируема в точке М 0, то производная по направлению l в точке М 0
равна проекции градиента функции f в этой точке на направление l.
Доказательство.
Т.к. функция f дифференцируема в точке М 0, то в этой точке существуют производная по направлению l и градиент, т.е. имеем
,
.
Через
обозначим единичный вектор направления l:
.
Тогда
(скалярное произведение).
Т.к.
, где
- угол между векторами
и
, то, учитывая, что
а
, получим
. Следовательно,
. 
Свойства градиента
1. Производная в данной точке М 0 по направлению l имеет наибольшее значение, если направление l совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение
.
Доказательство.
.
Ясно, что
имеет наибольшее значение, когда
, т.е. когда φ;=0. Это означает, что направление
совпадает с направлением
. 
Лекц.3 2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору градиента, равна нулю (следует из доказательства теоремы).
3. В каждой точке М 0 области определения функции градиент функции f направлен по нормали к поверхности уровня проходящей через эту точку.
4.
;
5.
, где с = const;
6. 
Свойства 4-6 следуют из определения градиента и правил дифференцирования.