Граничные условия для нормальных составляющих электрического поля

 

Аналогично методике, примененной в предыдущем параграфе, выведем граничные условия для нормальных составляющих электрического поля.

Поток вектора индукции через суммарную поверхность запишется суммой произведения индукции электрического поля на площадь верхнего и нижнего оснований выделенного цилиндра и потока через боковую поверхность:

 

поток через боковую поверхность. (2.5)

Напомним, что в случае электрического поля выполняется равенство:

.

 

В рассматриваемом случае возможны два варианта:

1. Плотность поверхностных электрических зарядов равна нулю, т.е. s = 0.

В соответствии с теоремой Гаусса суммарный заряд, заключенный в рассматриваемой цилиндрической поверхности, будет равен

. (2.6)

Отсюда можно записать

.

Поскольку

,

запишем граничные условия для нормальных составляющих векторов напряженности электрического поля

. (2.7)

 

Таким образом, при отсутствии поверхностных электрических зарядов на границе раздела двух сред нормальные составляющие индукции электрического поля будут непрерывны, а нормальные составляющие векторов напряженности электрического поля будут испытывать скачок.

2. На границе раздела равномерно распределен поверхностный электрический заряд, который имеет плотность s. Используя закон Гаусса и устремив образующую цилиндра к нулю, можно записать формулу:

. (2.8)

Отсюда получим формулу в виде

.

 

Это означает, что при наличии заряженной границы раздела двух сред нормальные составляющие индукции электрического поля испытывают скачок на величину плотности поверхностного заряда.