Общие свойства волновых процессов

 

Прежде чем рассматривать волновой процесс, дадим определение колебательного движения. Колебание – это периодически повторяющийся процесс. Примеры колебательных движений весьма разнообразны: смена сезонов года, колебание сердца, дыхание, заряд на обкладках конденсатора и другие.

Уравнение колебания A(t) в общем виде записывают в виде

 

, (3.1)

 

где – амплитуда колебаний, – циклическая частота, – время, – начальная фаза. Часто начальную фазу принимают равной нулю.

От колебательного движения перейдем к рассмотрению волнового движения. Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени. Так как колебания распространяются в пространстве с течением времени, то в уравнении волны необходимо учесть пространственные координаты и время. Уравнение волны A(z,t) имеет вид

 

, (3.2)

 

где А₀ – амплитуда, w – частота, t – время, b – волновое число, z – координата.

Физическая природа волн весьма многообразна. Известны звуковые, электромагнитные, гравитационные, акустические волны.

По типу колебаний все волны классифицируют на продольные и поперечные. Продольные волны – это волны, у которых частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. Примером продольной волны является звуковая волна.

а б

Рис. 3.1. Продольные (а) и поперечные (б) волны

 

Поперечные волны – это волны, у которых частицы среды колеблются в поперечном направлении относительно направления распространения.

Электромагнитные волны относятся к поперечным волнам. Следует учесть, что в электромагнитных волнах происходит колебание поля и не происходит никакого колебания частиц среды. Если в пространстве происходит распространение волны с одной частотой w, то такая волна называется монохроматической.

Для описания распространения волновых процессов вводят следующие характеристики. Аргумент косинуса (см. формулу (3.2)), т.е. выражение , называется фазой волны.

Схематически распространение волны вдоль одной координаты показано на рис. 3.2, в данном случае – вдоль оси z.

 

Рис. 3.2. Определение длины волны

 

Период – время одного полного колебания. Период обозначается буквой Т и измеряется в секундах (с). Величина, обратная периоду, называется линейной частотой, обозначается f и измеряется в герцах ( =Гц). Линейная частота f связана с круговой частотой ω;. Связь выражается формулой

. (3.3)

Если зафиксировать время t, то из рис. 3.2 видно, что существуют точки, например А и В, которые колеблются одинаково, т.е. в фазе (синфазно). Расстояние между ближайшими двумя точками, колеблющимися в фазе, называется длиной волны. Обозначается длина волны l и измеряется в метрах (м).

Волновое число b и длина волны l связаны между собой формулой

. (3.4)

Волновое число b иначе называют фазовой постоянной или постоянной распространения. Из формулы (3.4) видно, что постоянная распространения измеряется в (). Физический смысл заключается в том, что она показывает, на сколько радиан изменяется фаза волны при прохождении одного метра пути.

Для описания волнового процесса вводят понятие фронта волны. Фронт волны – это геометрическое место воображаемых точек поверхности, до которых дошло возбуждение. Фронт волны иначе называют волновым фронтом.

Уравнение, описывающее волновой фронт плоской волны, получают из уравнения (3.2) в виде

. (3.5)

Формула (3.5) выражает уравнение волнового фронта плоской волны. Уравнение (3.4) показывает, что волновые фронты представляют собой бесконечные плоскости, перемещающиеся в пространстве перпендикулярно оси z.

Скорость перемещения фазового фронта называется фазовой скоростью. Фазовая скорость обозначается V_ф и определяется формулой

. (3.6)

 

Первоначально уравнение (3.2) содержит фазу с двумя знаками – отрицательным и положительным. Отрицательный знак, т.е. , указывает, что фронт волны распространяется вдоль положительного направления распространения оси z. Такая волна называется бегущей, или падающей.

Положительный знак фазы волны указывает на движение фронта волны в обратном направлении, т.е. противоположном направлению оси z. Такая волна называется отраженной.

В дальнейшем будем рассматривать бегущие волны.

Если волна распространяется в реальной среде, то из-за происходящих тепловых потерь неизбежно происходит уменьшение амплитуды. Рассмотрим пример. Пусть волна распространяется вдоль оси z и первоначальное значение амплитуды волны соответствует 100%, т.е. A₀=100. Допустим, при прохождении одного метра пути амплитуда волны уменьшается на 10%. Тогда будем иметь следующие значения амплитуд волн:

Общая закономерность изменения амплитуды имеет вид

.

Такими свойствами обладает показательная функция. Графически процесс можно показать в виде рис. 3.3.

 

Рис. 3.3. Уменьшение амплитуды при распространении волны в среде

 

 

В общем виде соотношение пропорциональности запишем как

 

, (3.7)

 

где a – постоянная затухания волны.

Фазовую постоянную b и постоянную затухания a объединяют с помощью введения комплексной постоянной распространения g, т.е.

 

, (3.8)

 

где b – фазовая постоянная, a – постоянная затухания волны.

В зависимости от вида волнового фронта различают волны плоские, сферические, цилиндрические.

Плоская волна – это волна, имеющая плоский фронт. Плоской волне можно дать следующее определение. Волна называется плоской однородной, если векторные поля и в любой точке плоскости перпендикулярны направлению распространения и не изменяются по фазе и амплитуде.

Уравнение плоской волны имеет вид:

. (3.9)

Если источник, порождающий волну, является точечным, то фронт волны, распространяющийся в неограниченном однородном пространстве, представляет собой сферу. Сферическая волна – это волна, имеющая сферический фронт. Уравнение сферической волны имеет вид

, (3.10)

 

где r – радиус-вектор, проведенный из начала координат, совпадающего с положением точечного источника, в конкретную точку пространства, расположенной на расстоянии r.

Волны могут возбуждаться с помощью бесконечной нити источников, расположенных вдоль оси z. В этом случае такая нить будет порождать волны, фазовый фронт которых представляет собой цилиндрическую поверхность.

Цилиндрическая волна – это волна, имеющая фазовый фронт в виде цилиндрической поверхности. Уравнение цилиндрической волны имеет вид

 

, (3.11)

 

Формулы (3.2), (3.10), (3.11) указывают на различную зависимость амплитуды от расстояния между источником волны и конкретной точкой пространства, до которой дошла волна.