Уравнения Гельмгольца

 

Максвелл доказал, что распространение электромагнитных процессов в пространстве с течением времени происходит в виде волны. Рассмотрим доказательство этого положения, т.е. докажем волновой характер электромагнитного поля.

Запишем первые два уравнения Максвелла в комплексной форме в виде

(3.12)

Возьмем второе уравнение системы (3.12) и применим к нему операцию ротора к левой и правой частям. В результате получим

. (3.13)

Обозначим , представляющую собой постоянную распространения. Таким образом, имеем

. (3.14) С другой стороны, на основе известного тождества в векторном анализе запишем

, (3.15)

где является оператором Лапласа, который в декартовой системе координат выражается тождеством

. (3.16)

Учитывая закон Гаусса, т.е. , уравнение (3.15) запишется в упрощенном виде

или

. (3.17)

 

Аналогично, пользуясь симметрией уравнений Максвелла, можно получить уравнение относительно вектора , т.е.

. (3.18)

 

Уравнения вида (3.17, 3.18) называются уравнениями Гельмгольца. В математике доказано, что если какой-либо процесс описывается в виде уравнений Гельмгольца, то это означает, что процесс является волновым. В нашем случае делаем заключение: переменные во времени электрическое и магнитное поля неизбежно приводят к распространению в пространстве электромагнитных волн.

 

 

В координатной форме уравнение Гельмгольца (3.17) записывают в виде

, (3.19)

где , , – единичные векторы вдоль соответствующих осей координат,

или

,

, (3.20)

.