Свойства плоских волн при распространении в непоглощающих средах

 

Пусть плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси z, тогда распространение волны описывается системой дифференциальных уравнений

(3.21)

где и – комплексные амплитуды поля,

. (3.22)

Решение системы (3.21) имеет вид

(3.23)

Если волна распространяется только в одном направлении вдоль оси z, и вектор направлен вдоль оси x, то решение системы уравнений целесообразно записать в виде

(3.24)

где и – единичные орты вдоль оси x, y.

Если в среде отсутствуют потери, т.е. параметры среды e_а, m_а и являются действительными величинами.

Перечислим свойства плоских электромагнитных волн:

1. Для среды вводится понятие волнового сопротивления среды

, (3.25)

где , – амплитудные значения напряженностей поля. Волновое сопротивление для среды без потерь также является действительной величиной.

Для воздуха волновое сопротивление составляет

. (3.26)

2. Из уравнения (3.24) видно, что магнитное и электрическое поля совпадают по фазе. Поле плоской волны представляет собой бегущую волну, которая записывается в виде

(3.27)

 

Рис. 3.4. Распространение плоской электромагнитной волны

 

На рис. 3.4 векторы поля и изменяются синфазно, как следует из формулы (3.27).

3. Вектор Пойнтинга в любой момент времени совпадает с направлением распространения волны

. (3.28)

Модуль вектора Пойнтинга определяет плотность потока мощности и измеряется в .

4. Средняя плотность потока мощности определяется по формуле:

(3.29)

или

, (3.30)

где – действующие значения напряженностей поля.

Энергия поля, заключенная в единице объема, называется плотностью энергии. Электромагнитное поле изменяется с течением времени, т.е. является переменным. Значение плотности энергии в данный момент времени называется мгновенной плотностью энергии. Для электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля мгновенные плотности энергии соответственно равны :

, (3.31)

. (3.32)

Учитывая, что , из соотношений (3.31) и (3.32) видно, что .

Полная плотность электромагнитной энергии определяется выражением

. (3.33)

 

5. Фазовая скорость распространения электромагнитной волны определяется формулой

. (3.34)

6. Длина волны λ определяется формулой

, (3.35)

где – длина волны в вакууме (воздухе), с – скорость света в воздухе, e – относительная диэлектрическая проницаемость, m – относительная магнитная проницаемость, f – линейная частота, w – циклическая частота, V_ф – фазовая скорость, b – постоянная распространения.

7. Скорость перемещения энергии (групповая скорость ) можно определить из формулы

, (3.36)

где – вектор Пойнтинга, v – плотность электромагнитной энергии.

Если расписать и v в соответствии с формулами (3.28), (3.33), то получим

. (3.37)

 

Таким образом, получим соотношение

. (3.38)

При распространении электромагнитной монохроматической волны в среде без потерь выполняется равенство фазовой и групповой скорости.

Между фазовой и групповой скоростью существует связь, выраженная формулой

. (3.39)

Рассмотрим пример распространения электромагнитной волны во фторопласте, имеющем параметры e =2, m=1. Пусть напряженность электрического поля соответствует

. (3.40)

Скорость распространения волны в такой среде будет равна

. (3.41)

Волновое сопротивление в среде из фторопласта соответствует значению

Ом. (3.42)

Амплитудные значения напряженности магнитного поля принимают значения

 

, . (3.43)

Плотность потока энергии, соответственно, равна

. (3.44)

Длина волны на частоте имеет значение

. (3.45)

 

3.4. Теорема Умова – Пойнтинга

 

Электромагнитное поле характеризуется собственной энергией поля, причем полная энергия определяется суммой энергий электрического и магнитного полей. Пусть электромагнитное поле занимает замкнутый объем V. Тогда можно записать

. (3.46)

Энергия электромагнитного поля, в принципе, не может оставаться постоянной величиной. Возникает вопрос: какие факторы влияют на изменение энергии? Установлено, что на изменение энергии внутри замкнутого объема влияют следующие факторы:

- превращение части энергии электромагнитного поля в другие виды энергии, например, механическую;

- действие внутри замкнутого объема сторонних сил, которые способны увеличивать или уменьшать энергию электромагнитного поля, заключенную в рассматриваемом объеме;

- обмен энергией рассматриваемого замкнутого объема V с окружающими телами за счет процесса излучения энергии.

Интенсивность излучения характеризуется вектором Пойнтинга . Объем V имеет замкнутую поверхность S. Изменение энергии электромагнитного поля рассматривают как поток вектора Пойнтинга сквозь замкнутую поверхность S (рис. 3.5), т.е. , причем возможны варианты >0, <0, =0. Отметим, что нормаль, проведенная к поверхности , всегда является внешней.

S

 

 

 

 

Рис. 3.5. Излучение энергии из объема V

 

Напомним, что , где – это мгновенные значения напряженности поля:

 

(3.47)

Переход от интеграла по поверхности к интегралу по объему V осуществлен на основе теоремы Остроградского – Гаусса.

Зная, что подставим эти выражения в формулу (3.47). После преобразования получим выражение в виде:

. (3.48)

Из формулы (3.48) видно, что левая часть выражается суммой, состоящей из трех слагаемых, каждое из которых рассмотрим в отдельности.

Слагаемое выражает мгновенную мощность потерь, обусловленную в рассматриваемом замкнутом объеме токами проводимости. Иными словами, слагаемое выражает тепловые потери энергии поля, заключенного в замкнутом объеме.

Второе слагаемое выражает работу сторонних сил, произведенную в единицу времени, т.е. мощность сторонних сил. Для такой мощности возможны значения >0, <0.

Если >0, т.е. в объеме V добавляется энергия, тогда сторонние силы можно рассматривать в качестве генератора. Если <0, т.е. в объеме V происходит уменьшение энергии, то сторонние силы играют роль нагрузки.

Последнее слагаемое для линейной среды представим в виде:

(3.49)

Формула (3.49) выражает скорость изменения энергии электромагнитного поля, заключенного внутри объема V.

После рассмотрения всех слагаемых формулу (3.48) запишем в виде:

 

. (3.50)

 

Формула (3.50) выражает собой теорему Пойнтинга. Теорема Пойнтинга выражает баланс энергии внутри произвольной области, в которой существует электромагнитное поле.