Запаздывающие потенциалы

Запишем уравнения Максвелла в комплексной форме:

(3.51)

 

Пусть в однородной среде существуют сторонние токи. Попробуем преобразовать уравнения Максвелла для такой среды и получить более простое уравнение, описывающее электромагнитное поле в ней.

Возьмем уравнение . Зная, что характеристики и связаны между собой , можно записать Учтем, что напряженность магнитного поля можно выразить с помощью векторного электродинамического потенциала , который вводится соотношением , тогда

. (3.52)

 

Возьмем второе уравнение системы Максвелла (3.51) и выполним преобразования:

т.е.

(3.53)

Формула (3.53) выражает второе уравнение Максвелла через векторный потенциал . Ее можно записать также в виде

или

(3.54)

В электростатике, как известно, выполняется соотношение

(3.55)

где – вектор напряженности поля, Ф – скалярный электростатический потенциал. Знак минус указывает, что вектор направлен из точки, имеющей высокий потенциал, в точку с более низким потенциалом.

Выражение в скобках (3.54) по аналогии с формулой (3.55) запишем в виде

или

(3.56)

где Ф – скалярный электродинамический потенциал.

Возьмем первое уравнение Максвелла и запишем его с помощью электродинамических потенциалов:

 

 

или

или

(3.57)

 

В векторной алгебре доказано тождество

 

(3.58)

Используя тождество (3.58), можно первое уравнение Максвелла, записанное в виде (3.57), представить в виде

или

 

 

Приведем подобные

Умножим левую и правую части на множитель (–1):

(3.59)

Поскольку можно задать произвольным образом, можно положить, что

. (3.60)

 

Выражение (3.60) называется лоренцевой калибровкой.

Если w=0, то получим кулонову калибровку =0.

С учетом калибровок уравнение (3.59) можно записать как:

. (3.61)

 

Уравнение (3.61) выражает собой неоднородное волновое уравнение для векторного электродинамического потенциала.

Аналогичным путем, исходя из третьего уравнения Максвелла , можно получить неоднородное уравнение для скалярного электродинамического потенциала в виде:

(3.62)

Полученные неоднородные уравнения для электродинамических потенциалов имеют свои решения в виде

, (3.63)

 

где М – произвольная точка М, – объемная плотность заряда, γ; – постоянная распространения, r – текущее расстояние от каждого элемента объема источника до точки М.

, (3.64)

 

где V – объем, занимаемый сторонними токами, r – текущее расстояние от каждого элемента объема источника до точки М.

Решения для векторного электродинамического потенциала (3.63), (3.64) называются интегралом Кирхгофа для запаздывающих потенциалов.

Множитель с учетом выразим в виде

 

Этот множитель соответствует конечной скорости распространения волны от источника, причем Т.к. скорость распространения волны является конечной величиной, то воздействие источника, порождающего волны, до произвольной точки М доходит с запаздыванием во времени. Значение времени запаздывания определяется по формуле: На рис. 3.6 показан точечный источник U, который излучает сферические волны, распространяющиеся со скоростью v в окружающем однородном пространстве, а также произвольная точка М, расположенная на расстоянии r, до которой доходит волна.

 

Рис. 3.6. Излучение энергии точечным источником

 

В момент времени t векторный потенциал в точке М является функцией токов, протекающих в источнике U в более раннее время Иными словами, зависит от токов источника, которые протекали в ней в более ранний момент

Из формулы (3.64) видно, что векторный электродинамический потенциал параллелен (сонаправлен) плотности тока сторонних сил; его амплитуда убывает по закону ; на больших расстояниях по сравнению с размерами излучателя волна имеет сферический фронт волны.

Учитывая и первое уравнение Максвелла, определим напряженность электрического поля:

(3.65)

Полученные соотношения определяют электромагнитное поле в пространстве, созданном заданным распределением сторонних токов.