Запаздывающие потенциалы
Запишем уравнения Максвелла в комплексной форме:
Пусть в однородной среде существуют сторонние токи. Попробуем преобразовать уравнения Максвелла для такой среды и получить более простое уравнение, описывающее электромагнитное поле в ней. Возьмем уравнение
Возьмем второе уравнение системы Максвелла (3.51) и выполним преобразования: т.е.
Формула (3.53) выражает второе уравнение Максвелла через векторный потенциал или
В электростатике, как известно, выполняется соотношение
где Выражение в скобках (3.54) по аналогии с формулой (3.55) запишем в виде или
где Ф – скалярный электродинамический потенциал. Возьмем первое уравнение Максвелла и запишем его с помощью электродинамических потенциалов:
или или
В векторной алгебре доказано тождество
Используя тождество (3.58), можно первое уравнение Максвелла, записанное в виде (3.57), представить в виде или
Приведем подобные Умножим левую и правую части на множитель (–1):
Поскольку
Выражение (3.60) называется лоренцевой калибровкой. Если w=0, то получим кулонову калибровку С учетом калибровок уравнение (3.59) можно записать как:
Уравнение (3.61) выражает собой неоднородное волновое уравнение для векторного электродинамического потенциала. Аналогичным путем, исходя из третьего уравнения Максвелла
где V – объем, занимаемый сторонними токами, r – текущее расстояние от каждого элемента объема источника до точки М. Решения для векторного электродинамического потенциала (3.63), (3.64) называются интегралом Кирхгофа для запаздывающих потенциалов. Множитель
Этот множитель соответствует конечной скорости распространения волны от источника, причем
Рис. 3.6. Излучение энергии точечным источником
В момент времени t векторный потенциал Из формулы (3.64) видно, что векторный электродинамический потенциал параллелен (сонаправлен) плотности тока сторонних сил; его амплитуда убывает по закону Учитывая
Полученные соотношения определяют электромагнитное поле в пространстве, созданном заданным распределением сторонних токов.
|