Устойчивость численных методов интегрирования.

 

Однако точность не единственный фактор, влияющий на величину шага интегрирования. Численная неустойчивость часто значительно сильнее ограничивает величину шага, чем соображения точности.

Методы, в которых локальные ошибки, накапливаясь, могут вызвать рост полной ошибки, называют численно неустойчивыми.

Методы, в которых локальные ошибки часто компенсируют друг друга и изменение полной ошибки будет незначительным, называют численно устойчивыми.

Из рассмотренных методов только явный метод Эйлера численно неустойчив при большом размере шага. Это видно из следующих рассуждений.

Так, для тестового примера решение можно записать в следующем виде:

,

,

т.е.

,

,

........................

. (6.24)

Ясно, что если то при . Следовательно, для обеспечения численной стабильности явного метода Эйлера мы должны потребовать, чтобы , или что эквивалентно . Так как l - положительное вещественное число в нашем случае, то условие устойчивости может быть записано следующим образом:

.

Если взять l=40, то шаг h должен быть меньше 0,05, если хотим избежать численной неустойчивости.

 

Для неявного метода Эйлера

,

т.е.

l. (6.25)

 

Для метода трапеций аналогично:

. (6.26)

 

В обоих случаях имеем , когда , независимо от размера шага. Следовательно, можно заключить, что, как неявный метод Эйлера, так и метод трапеций устойчивы.

Следует отметить, что выполнение условий устойчивости для численного метода не подразумевает правильности результатов расчета. Это только означает, что любая ошибка при вычислениях не увеличится на последующих шагах. На величине ошибки сказывается так называемая ошибка усечения, о которой речь шла выше и которая тем больше, чем больше шаг h.