Проблема разброса постоянных времени

 

Если отрезок интегрирования в рассматриваемом примере выбран небольшим [0,10], то полученное ограничение на шаг для явного метода Эйлера практически никак не будет влиять на выбор шага, т.к. ограничения по точности при этом более жесткие. Если отрезок интегрирования выбрать большим, например, [0,1000], то при решение перестанет меняться и с точки зрения обеспечения точности решения шаг интегрирования можно увеличить. Однако, исходя из условий устойчивости, шаг интегрирования нельзя выбирать больше двух. Это приводит к большому числу шагов интегрирования.

Рисунок 6.6-Схема с большим разбросом постоянных времени

 

Однако существуют схемы с большим разбросом постоянных времени, где максимальный шаг интегрирования определяется минимальной постоянной времени, а время интегрирования – максимальной постоянной времени, во много раз большей минимальной, как в примере на рис.6.6, где решение можно записать в виде:

, . (6.27)

Такие уравнения называют жесткими.

Из этих выражений видно, что переходные процессы, определяемые вторыми слагаемыми, протекают быстро и уже при t>10 они практически не сказываются на решении. При использовании явной формулы Эйлера максимальный шаг интегрирования составляет . Полное время интегрирования будет равно (3¸5)t_max=3000¸5000нс. Потому для решения потребуется не менее 1500 шагов, хотя из соображений точности требуется на порядок меньшеe число шагов. В этом заключается проблема большого разброса постоянных времени для явных методов интегрирования. Она решается с помощью использования неявных методов интегрирования.

 

6.8 Многошаговые методы интегрирования

Более точное решение по сравнению с методами Эйлера может быть получено, если для построения интерполяционного полинома использовать не одну предыдущую точку решения , а несколько. Тогда мы получим многошаговый метод численного интегрирования.

Для к точек, соответствующих этим моментам времени, строится интерполяционный полином к -го порядка, посредством которого описывается кривая x(t).

Для к точек вычисленная кривая совпадает с интерполяционным полиномом.

Существует большое разнообразие многошаговых методов: Гира, Шихмана, Адамса – Бишофа, Милна, ФДН и т. д.

Для широко используемого в программах моделирования электронных схем метода ФДН (формула дифференцирования назад) прогнозируемые значения в т. определяются по явной формуле:

, (6.28)

а наклон кривой в этой точке, т.е. , определяется по формуле:

, (6.29)

где - порядок метода, который обеспечивает его устойчивость.

Коэффициенты и определяют из совпадения решения в узловых точках со значением полинома, т.е. путём решения системы алгебраических уравнений. Однако если использовать в качестве интерполяционных многочлены Лагранжа или Ньютона, то эти коэффициенты можно вычислить аналитическим путём, что и делается в действующих программах АСхП.

Гир и Брайтон показали, что формула (6.29) устойчива для и разработали способы применения этой формулы в рамках алгоритма с автоматическим выбором шага h и порядка k в ходе интегрирования.

Формула (6.29) применяется для решения систем ОДУ в неявной форме, т.е. в форме

. (6.30)

Замена производной в (6.30) по формуле (6.29) приводит к системе НАУ порядка m (количество переменных) на каждом шаге интегрирования относительно (алгебраизация дифференциальных уравнений). Поэтому объём вычислений при изменении порядка k на каждом шаге получается примерно одинаковым. Это позволяет повысить эффективность метода за счёт автоматического изменения порядка формулы (6.29) в ходе вычислений. При этом выбирается тот порядок метода, который даёт наименьшую локальную погрешность.

Чтобы определить размер , необходимо оценить его ошибку на предыдущем шаге . На основании исследований Гира и Брайтона эту погрешность можно выразить через разность предсказанного (6.28) и вычисленного значений :

, (6.31)

где - число переменных.

С другой стороны, для шагов и локальные погрешности для одной переменной (i = 1) из разложения в ряд Тейлора:

, где (6.32)

, где (6.33)

Если в диапазоне изменяется незначительно, то

,

откуда

. (6.34)

Для выбора порядка метода интегрирования оценивается локальная ошибка методов k–1, k, k+1 – порядков для каждой i -той переменной.

Внутри каждого порядка находим среди находим порядок с наименьшим и принимаем его за в формуле (6.34).

 

 

 

Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

2. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 256 с.

3. Норенков И.П., Маничов В.Б. Основы теории и проектирования САПР: Учеб. для втузов. – М.: Высш. шк., 1990. – 335 с.

4. Ильин В.Н. и др. Автоматизация схемотехнического проектирования: Учеб. пособие. – М.: Радио и связь, 1987. – 368 с.

5. Нарретер В. Расчет электрических цепей на ПЭВМ: Пер с нем. – М.: Энергоиздат, 1991. – 220 с.

6. Крылов и др. Вычислительные методы. Т.1. – М.: Наука, 1976. – 302 с.

7. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. – М.: Мир, 1969.