Локальные и глобальные ошибки

 

В численных методах интегрирования каждый последующий шаг строится на основании результатов предыдущего. Причем на каждом шаге возникают как ошибки метода (ошибки усечения аппроксимирующего ряда), так и ошибки округления (конечность разрядной сетки ЭВМ).

Различают ошибки отдельного шага вычисления (локальные) и ошибки на всем интервале интегрирования (глобальные). Исследуем проблему ошибок на тестовом примере

, (6.19)

геометрическая трактовка которого изображена на рис.6.5.

Полная (глобальная) ошибка

. (6.20)

Локальная ошибка

. (6.21)

 

Рисунок 6.5 - Иллюстрация локальной и глобальной ошибок

 

Точность решения обычно контролируется с помощью локальной ошибки интегрирования. При этом шаг выбирается таким, чтобы локальная ошибка на этом шаге не превышала заданную величину.

Если интервал времени решения заключен между и и E_max является максимально возможной ошибкой на всем интервале Т, то максимально возможная ошибка в единицу времени определяется следующим соотношением:

, (6.22)

а допустимая локальная ошибка на шаге:

. (6.23)

Тот факт, что локальная ошибка на каждом шаге не превышает ее допустимого значения, еще не гарантирует отклонения численного решения от точного на интервале интегрирования не более, чем на , т.к. локальные ошибки вычисляются на основании численного, а не точного решения.

Уменьшая шаг интегрирования, теоретически можно получить численное решение, сколь угодно близкое к точному. Но это приведет к увеличению числа шагов интегрирования и соответственно к увеличению затрат машинного времени. Кроме того, возрастают ошибки округления. Поэтому надо стремиться получить численное решение не более точное, чем требуется.