Простейшие методы решения ОДУ

 

Если правая часть f(t, x) и её частная производная определены и непрерывны в некоторой области D изменения t, x, то для всякой внутренней точки (t₀, х₀) этой области данное уравнение имеет единственное решение, принимающее заданное значение x = x₀ при

t = t₀.

Представление дифференциального уравнения в форме Коши:

. (6.2)

 

Если имеется дифференциальное уравнение n -го порядка, то его можно представить в виде системы n уравнений I порядка в форме Коши.

Задача Коши.

Пусть имеется уравнение в форме Коши (6.2)

и надо найти его решение .

Из теоремы Коши следует, что решение заданного уравнения существует и единственно, если правая часть удовлетворяет некоторым условиям гладкости ( определена и непрерывна). Будем считать, что эти условия выполнены и существует единственное решение. Будем искать решение на ряде дискретных точек t₀, t₁, …, t_n, удаленных друг от друга на расстоянии , в виде

, (6.3)

полученном путем интегрирования уравнения (6.2) .

Если принять, что на отрезке , то

или, обозначив , в дискретном виде

.

Для точки можно записать

. (6.4)

Полученное выражение известно как явный (прямой) метод Эйлера.

Искомая функция на шаге интегрирования была аппроксимирована прямой, совпадающей с касательной в точке (см. рис. 6.1).

Рисунок 6.1 – Иллюстрация явного метода Эйлера

 

В выражении (6.4) производная вычислялась в точке . Можно также выразить через и производную в точке , т.е. . Тогда, аналогично (6.4), получим .

Или в общем виде

. (6.5)

Эта формула называется неявным (обратным) методом Эйлера.

Можно представить (6.5) в виде , где входит и в правую часть (рис. 6.2). Поэтому эта формула пригодна, когда будет предсказано значение , например, с помощью явного метода Эйлера. Таким образом, мы пришли к понятию «предсказание», когда определяется значение искомой функции в последующей точке. На основе найденного «предсказания» можно рассчитать значение и использовать его при коррекции, которую выполним по неявной формуле Эйлера. Из-за ошибки «предсказания» может быть получена неточная коррекция. Чаще всего «предсказание» используется в качестве начального приближения для решения уравнения (6.5) методом Ньютона.

Рисунок 6.2 – Иллюстрация неявного метода Эйлера.

 

Еще одну формулу численного интегрирования можно получить, приняв , тогда:

. (6.6)

Это формула трапеции, которую иногда называют модифицированным методом Эйлера.

Это также неявная формула интегрирования, т. к. неизвестная величина x’_n+1 входит в правую часть. Значение переменной x_n+1 получают из решения нелинейного алгебраического уравнения

(6.7)

методом Ньютона.

Алгоритм неявного метода Эйлера отличается от алгоритма метода трапеции отсутствием в формуле определения х составляющей и вместо ½ h используется h.