Б) элементы денежного потока поступают в начале периода.

 

По данным задачи очевидно, что денежный поток рассматривается при n = 4; по пункту а) – это поток постнумерандо; по пункту б) – поток пренумерандо.

Расчет приведенной стоимости потока постнумерандо проводится по формуле:

PVpst = S C_k * FM2 (r%, k),

где r – ставка дисконтирования;

C_k – элемент денежного потока в k- том периоде

 

Год	Денежный поток (тыс. руб.)	Дисконтирующий множитель при r = 1 2%	Приведенный поток (тыс. руб.)
1 2 3		0,8929 0.7972 0,7118 0,6355	10,71 11,96 6,41 15,89
			44,97

 

Расчет приведенной стоимости потока пренумерандо проводится по формуле:

PVpre = (1 + r) * S C_k * FM2 (r%, k) = (1 + r) * PVpst = = (1 + 0,12)* 44,97= 50,37 тыс. руб.

Таким образом, для заданного денежного потока постнумерандо приведенная стоимость составляет 44,97 тыс. руб.; если денежный поток пренумерандо, то его приведенная стоимость составляет 50,37 тыс. руб.

 

Задача 5. Вам предлагают сдать в аренду участок на три года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 тыс. руб. в конце каждого года; б) 35 тыс. руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант более пред­почтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

 

Оценка данной ситуации может быть сделана либо с позиции будущего – решение прямой задачи, либо с позиции настоящего – решение обратной задачи.

Рассмотрим решение прямой задачи по вышеприведенным условиям. Первый вариант оплаты представляет собой аннуитет постнумерандо при п = 3 и А = 10 тыс. руб. В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестиро­вания полученных сумм, как минимум, на условиях 20% годовых (на­пример, вложение в банк). К концу трехлетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана по формуле:

FVpst = А * FM3(r%, n) = 10 * FM3(20%, 3) = 10 * 3,640 = 36,4 тыс. руб.

Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден.

Общую постановку обратной задачи оценки срочного аннуитета постнумерандо также можно рассмотреть на примере данной задаче. В этом случае произво­дится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, начиная с которого отсчитываются равные временные интервалы, вхо­дящие в аннуитет.

В данном случае денежный поток по первому варианту оплаты также представляет собой аннуитет постнумерандо при п = 3 и А = 10 тыс. руб. и расчет приведенной стоимости осуществляется по формуле:

PVpst = А * FM4(r%, n) = 10 * FM4(20%, 3) = 10 * 2,1065 = 21,065 тыс. руб.

Экономический смысл сделанных расчетов состоит в следующем: с позиции текущего момента реальная стоимость данного аннуитета может быть оценена в 21,065 тыс. руб.

Рассматривая второй вариант оплаты – 35 тыс. руб. в конце трехлетнего периода – с позиции текущего момента, необходимо рассчитать приведенную стоимость по формуле:

PV = FV / (1 + r)ⁿ = 35 / (1 + 0,20)³ = 35 / 1,728 = 20,25 тыс. руб.

Сравнивая приведенные стоимости по двум вариантам оплаты, можно сделать вывод, что первый вариант оплаты является более выгодным (21,065 > 20,25).

 

Задача 6. Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. руб. Банк платит 20% годовых. Какая сумма будет на счете по истечении трех лет?

В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, буду­щую стоимость которого и предлагается оценить при следующих параметрах: А = 10 тыс. руб.; п = 3; r = 20%. В соответствии с формулой можно найти искомую сумму:

FVpre = 10 * (1+ 0,2) * FМ3(20%,3) = 10 * 1,2 * 3,640 =43,68 тыс. руб.

 

Задача 7. Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. иа срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. руб.). По истечении пяти лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

 

Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две сум­мы. При депонировании денег в банк к концу пятилетнего периода на счете будет сумма:

F₅ = P* (1+r)⁵= 100 * (1 +0,12)⁵= 176,23 тыс. руб.

В отношении альтернативного варианта, предусматривающего воз­мещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс. руб. можно немедленно пускать в обо­рот, получая дополнительные доходы.

Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с А - 20, п = 5, r = 20% и единовременное получение суммы в 30 тыс. руб.;

б) как срочный аннуитет пренумерандо с А = 20, п = 4, r = 20% и единовременное получение сумм в 20 и 30 тыс. руб.

В первом случае на основании формулы имеем:

FVpst = 20 * FM3(12%,5) + 30 = 20 * 6,353 + 30 = 157,06 тыс. руб.

Во втором случае на основании формулы имеем:

FVpre = 20 * FM3(12%, 4) * 1,2 + 20 + 30 = 20 * 4,779 * 1,12 + 50 = 157.06 тыс. руб.

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода бу­дет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,06 тыс. руб.), возврата доли от участия в венчурном проекте за после­дний год (20 тыс. руб.) и единовременного вознаграждения (30 тыс. руб.). Общая сумма составит, следовательно, 157,06 тыс. руб. Предло­жение экономически нецелесообразно.

 

 

Задача 8. В банке получена ссуда на пять лет в сумме 20 000 долл. под 13% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа, а также составить график погашения кредита.

Данная задача решается с помощью метода депозитной книжки. Для лучшего понимания логики этого метода целесо­образно рассуждать с позиции кредитора. Для банка данный контракт представляет собой инвестицию в размере 20 000 долл., т.е. отток де­нежных средств. В дальнейшем в течение пяти лет банк будет ежегодно получать в конце года сумму А, причем каждый годовой платеж будет включать проценты за истекший год и часть ос­новной суммы долга. Так, поскольку в течение первого года заемщик пользовался ссудой в размере 20 000 долл., то платеж, который будет сде­лан в конце этого года, состоит из двух частей: процентов за год в сумме 2 600 долл. (13% от 20 000 долл.) и погашаемой части долга в сумме (А –2 600) долл. В следующем году расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, составит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именно: (20 000 – А + 2 600) долл. Отсюда видно, что с течением времени сумма уплачиваемых процен­тов снижается, а доля платежа в счет погашения долга возрастает. Таким образом, видно, что мы имеем дело с аннуитетом постнумерандо, о котором известны его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины го­дового платежа А можно воспользоваться формулой приведенной стоимости денежного потока постнумерандо:

20 000 = FM4(13%, 5) * А = 3,517 * А, т.е. А = 5687 долл.

Динамика платежей показана в таблице. Отметим, что данные в ходе вычислений округлялись, поэтому величина процентов в после­дней строке найдена балансовым методом.