Поперечного сечения

А

·А

Задачи определения напряжений и деформаций при кручении брусьев некруглого поперечного сечения нельзя решить методами сопротивления материалов. Эти задачи рассматриваются в теории упругости. Причина этого в том, что у таких брусьев гипотеза плоских сечений не применима, так как поперечные сечения заметно искривляются, что и приводит к существенному изменению распределения напряжений.

Рис. 7.12

б)

а)

б)

Отметим некоторые закономерности распределения напряжений в сечениях некруглой формы, а затем приведем готовые решения, полученные методами теории упругости для некоторых форм поперечных сечений. Прежде всего, покажем, что касательные напряжения в поперечных сечениях для точек вблизи контура направлены по касательной к нему. Для этого

Рис.7.12

положим, что в некоторой точке А касательное напряжение τ направлено под углом, тогда его можно разложить по направлениям касательной и нормали к контуру сечения (7.12, а). По закону парности касательных напряжений на поверхности стержня должно возникнуть напряжение , но эта поверхность свободна от нагрузки, следовательно, , направлено по касательной к контуру.

Аналогично можно показать, что в сечении с внешними углами напряжения равны нулю. Разложим напряжения вблизи угла на две составляющие и (7.12,б), так как парные им напряжения и равны нулю, то и в ноль обращаются и . Значит, вблизи внешнего угла касательные напряжения в поперечном сечении отсутствуют.

На рис. 7.13 показана эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения, полученная методами теории упругости. Как видим, в углах напряжения равны нулю, а наибольшей величины они достигают в точках А по средине больших сторон:

, (7.15)

Рис.7.13

в точках В касательные напряжения вычисляются по формуле: .

Здесь h – размер большой стороны, b – размер меньшей

стороны прямоугольника.

Коэффициенты α, β и η зависят от отношения сторон h/b.

Угол закручивания находится из выражения . (7.16)

Коэффициент так же является функцией отношения сторон. При h/b≥10 .

Таблица

h/b		1,5	1,75		2,5						∞
α	0,208	0,231	0,239	0,246	0,258	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
β	0,141	0,196	0,214	0,229	0,249	0,263	0,281	0,299	0,307	0,313	0,333
η	1, 00	0,859	0,82	0,795	0,766	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742

Для формул (7.15), (7.16) введем геометрические параметры:

,

тогда они примут вид