Существование наибольшего и наименьшего значений непрерывной

функции на отрезке. Существование наибольшего и наименьшего значений функции следует из теоремы Вейерштрасса, в которой утверждается, что если функция непрерывна на отрезке, то функция принимает на нём наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют точки отрезка, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее на значения. Если при этом она имеет конечное число критических точек, то найти эти значения можно по следующему алгоритму:

Найти D (f). Определить как непрерывную и дифференцируемую на своей области определения и на.

Найти критические точки, выбрать те из них, которые принадлежат.

Найти значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.

Максимальное из найденных чисел задаёт наибольшее значение функции на отрезке, а минимальное соответственно наименьшее.

2,9. Теорема о промежуточных значениях функции непрерывной на отрезке. Если функция у(х) непрерывна на отрезке [a,b] и у(a) =/= у(b), то для любого числа М между у(a) и у(b) найдется внутри (a,b) хотя бы одна точка х0 такая, что у(х0)=М.

Доказательство опирается на теорему Коши: Если у(a)*у(b) < 0, то внутри (a,b) найдется хотя бы одна точка х0 такая, что у(х0)=0.

Достаточно рассмотреть функцию у(х)-М и сослаться на теорему Коши. А вот док-во теоремы Коши не такое короткое, хотя утверждение геометрически совершенно очевидно.

Теорема Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции) пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда найдется такая точка, в которой значение функции равно нулю.

3,1. Определение производной, её геометрический и механический

смысл. Производной функции y=f(x) в точке х нулевое,называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента,когда приращение аргумента стремится к нулю.

Если существует конечный предел , то он называется производной функции

f в точке х₀.

Обозначение: .

Разность называется приращением аргумента, а - приращением функции. Таким образом, можно определить производную как .

Геометрический смысл:значение производной при данном значении х равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в точке с соответствующим значением х с положительным направлением оси Ох.

Механический смысл производной. Рассмотрим прямолинейное движение тела, для которого пройденное расстояние есть функция от времени: s=f(t). Среднюю скорость за время Δ;t можно определить по формуле:

. Для определения мгновенной скорости тела в данный момент времени устремим Δ;t к нулю. Получим: Таким образом, производная от расстояния в данный момент времени равна мгновенной скорости движения в этот момент. Соответственно производная любой функции при данном значении аргумента равна скорости изменения этой функции при рассматриваемом х .