Элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы

Тейлора для приближённых вычислений. Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"

Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:y(n)=(y(n-1))¢

Свойства производных высших порядков. Основные свойства производных высших порядков следуют из соответствующих свойств первой производной:

1.(cf(x))⁽ⁿ⁾=c·f⁽ⁿ⁾(x).

2.(f(x)+g(x))⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾(x)+g⁽ⁿ⁾(x).

3.Для y=x^m y⁽ⁿ⁾=n(n-1)…(n-m+1)x^m-n. Если m – натуральное число, то при n>m y⁽ⁿ⁾=0.

4.Можно вывести так называемую формулу Лейбница, позволяющую найти производную n-го порядка от произведения функций f(x)g(x) .

Формула Тейлора:

Если функция y=f(x)имеет (n+1)-ю производную в окрестности точки ,то остаточный член (x) можно представить в форме Лагранжа: , где с-некоторая внутренняя точка отрезка [ ,x].Получаем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Если (n+1)-я производная ограничена в окрестности точки ,например если она непрерывна,то остаточный член можно представить в форме Пеано: ,

Действительно, . Получаем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано: .

Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.

Заменяя какую-либо функцию, для которой известно разложение по формуле Тейлора, многочленом Тейлора, степень которого выбирается так, чтобы величина остаточного члена не превысила выбранное значение погрешности, можно находить приближенные значения функции с заданной точностью.

Найдем приближенное значение числа е, вычислив значение многочлена Тейлора при n=8: При этом