Предел функции. Свойства функции имеющих предел. Односторонние

пределы. Пределы монотонных функций. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х ₀, если такое, что | f(x) - A | < ε при | x - x₀ | < δ.

Обозначение: .

Свойства пределов:1).Если существует (А – конечное число), то функция у = f(x) является ограниченной в некоторой окрестности (возможно, проколотой) точки х ₀.

Доказательство. Так как для любого ε существует такое δ, что | f(x) - A | < ε при | x - x₀ | < δ, то при этом | f(x)| < |A | + ε, то есть функция ограничена в рассматриваемой окрестности.

2). Функция не может иметь двух различных пределов при х, стремящемуся к одному и тому же значению.

Доказательство. Пусть А и В – пределы f(x) при х→х₀. Выберем ε < | A-B |. Тогда существует такое δ₁, что | f(x)-A |<ε/2 при | x - x₀ | < δ₁, и такое δ₂, что |f (x)-B |<ε/2 при | x - x₀ | < δ₂. Если выбрать в качестве δ меньшее из чисел δ₁ и δ₂, то значения функции f(x) для аргументов, лежащих в δ – окрестности х ₀, должны одновременно находиться в двух непересекающихся окрестностях, что невозможно. Утверждение доказано.

3)Если и А , то существует окрестность точки х ₀, в которой функция f(x) сохраняет постоянный знак (f(x)>;0, если A > 0, и f(x)<0, если A < 0).

Доказательство. Достаточно выбрать ε=| A |/2. Тогда для х из некоторой окрестности х ₀ | f(x)-A | < | A |/2, то есть А /2 < f(x) <;3 A /2 при A > 0 и 3 A /2 < f(x) < A /2 при A < 0. Следовательно, в выбранной окрестности f(x) сохраняет постоянный знак.

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

— правосторонний предел, если

— левосторонний предел, если

Если ,то

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю то функция называется стро́го моното́нной.

Если , то возрастает, пишут .

Если , то убывает, пишут

Класс функций и — класс монотонных функций.