Дифференциал функции, его геометрический смысл. Непрерывность

дифференцируемой функции. Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х.

Функция f(x),называется дифференцируемой в точке х₀, если в ее приращении Δу можно выделить линейную часть,т.е. если Δ;у можно представить в виде Δ;у=А* Δ;х+α* Δ;х,где А=const,а α= α(х)-б.м. в точке х0.

Диффиренциал функции y=f(x) вычисляется по формуле: dy=f’(x)dx,где dx-дифференциал переменной х.

Геометрический смысл:дифференциал функции равен приращению ординаты касательной. Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM1|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

 

Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция f непрерывна на (a, b).

Доказательство: Возьмем произвольное фиксированное число x (a,b).

По условию теоремы

Следовательно, в малой окрестности числа x0 можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при ∆х->0 такую, что

Но тогда

и, следовательно, функция f непрерывна при x = x0. Так как число x0 – произвольное, то функция f непрерывна на всем интервале (a, b).Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что в точках разрыва функция не может быть дифференцируемой.