Ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность.

Функции нескольких переменных. Множество всех n-мерных арифметических векторов, в которых введены операции: сложение векторов и умножение на число называется арифметическим n-мерным пространством (Rn).

Вектор θ = (0, 0,..., 0) называется нулевым вектором Rn,

а вектор −x = (−x1, −x2,..., −xn) — противоположным вектором для вектора x в Rn.

Множество G R_n называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество G называется связным, если любые его две точки х ¹, х ² можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G. Связное открытое множество называется областью

Опр. Окрестностью точки xÎX называется любое открытое множество, содержащее эту точку. Обозначение: - окрестность точки x; - окрестность точки x радиуса Опр. Пусть , тогда точка называется предельной точкой множества Y, если каждая окрестность точки x содержит по крайней мере одну точку y: .

множество называется компактным, если каждая бесконечная последовательность его элементов (точек) имеет хотя бы одну предельную точку (См. Предельная точка). От К. по отношению к объемлющему пространству отличают К. в себе: множество (лежащее в определенном топологическом пространстве или являющееся само топологическим пространством) компактно в себе, если каждая бесконечная последовательность его элементов имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую тому же множеству.Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x, y, z, …,t), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u. Если переменная является функцией от двух переменных х и у, то функциональную зависимость обозначают z = f (x, y).

4,2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х ₀, у ₀) такая, что для всех (x, y) из этой окрестности, отличных от (х ₀, у ₀), выполняется неравенство | f (x, y) – A | < ε.

По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х ₀, у ₀), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х ₀, у ₀) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:

Условие непрерывности f в точке (х ₀, у ₀) можно записать в эквивалентной форме:

т.е. функция f непрерывна в точке (х ₀, у ₀), если непрерывна функция f (х ₀ + Δ х, у ₀ + Δ у) от переменных Δ х, Δ у при Δ х = Δ у = 0.

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х ₀, у ₀) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х ₀, у ₀) ≠ 0.

Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков.