МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1) Метод замены переменной. Пусть функция x=φ(t) имеет производную во всех точках отрезка [α;β] и отображает этот отрезок на отрезке [a,b] таким образом, что a= φ(α) и b=φ(β). Тогда

2) Интегрирование по частям

Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках отрезка [a,b]. Тогда:

3) Метод непосредственного интегрирования. С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

4) Интегрирование дробей. Элементарными дробями называются дроби следующих 4-ёх типов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) , где m, n–натуральные числа (m≥2, n≥2, b²-4ac<0)

Дробь - правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной.

Если – правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде линейных и квадратичных множителей P(x)= , то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по схеме:

= +… +…+ + +…+ + + +…+ , где A1…Ak, B1 … Bp, M1…Me, N1…Nl – некоторые действительные числа. Коэффициенты А_i, B_i, M_i, N_i находят методом неопределенных коэффициентов или методом частных значений. Для этого необходимо привести равенства к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициент и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольное числовое значение.

5) Интегрирование тригонометрических функций: универсальная тригонометрическая подстановка.

Интеграла вида , где R – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: tg =t

В результате подстановки: sinx= = cosx= = x=2arctg(t) dx=

Интегралы вида

1) Один из показателей m или n – нечетное положительное число.

Если n - нечетное положительное число, то подстановка sin x=t

Если m - нечетное положительное число, то подстановка cos x=t

2) Оба показателя степени m и n – четные положительные числа. Надо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул:

sinx*cosx=½sin(2x)

 

Интегралы вида , , . Подынтегральную функцию преобразовываем с помощью тригонометрических формул: